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Geometria analítica

A Geometria Analítica é uma área da Matemática que se dedica ao estudo das formas e sólidos geométricos com o auxilio da álgebra.

Formas geométricas estudadas com o auxílio da álgebra
Formas geométricas estudadas com o auxílio da álgebra
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A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, baseia-se nos estudos da Geometria por meio da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas.

Breve histórico

Os estudos relacionados com a Geometria Analítica datam do século XVII. Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por meio de métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas.

Uma característica importante da Geometria Analítica apresenta-se na definição de formas geométricas de modo numérico, extraindo dados informativos da representação. Com base nesses estudos, a Matemática passa a ser vista como uma disciplina moderna, capaz de explicar e demonstrar situações relacionadas ao espaço. As noções intuitivas de vetores começam a ser exploradas de forma contundente na busca por resultados numéricos que expressem as ideias da união da Geometria com a Álgebra.

Os vetores constituem a base dos estudos do espaço vetorial e são objetos que possuem as características relacionadas com tamanho, direção e sentido. Os vetores são muito utilizados na Física como ferramenta auxiliar nos cálculos relacionados à Cinemática Vetorial, Dinâmica, Campo Elétrico, entre outros conteúdos.
Os cientistas Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz concentraram estudos na Geometria Analítica, que serviu como base teórica e prática para o surgimento do Cálculo Diferencial e Integral, muito utilizado atualmente na Engenharia.

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Tópicos estudados na Geometria analítica

Estudo Analítico do Ponto

Plano Cartesiano
Distância entre dois pontos
Ponto médio de um segmento
Condição de alinhamento de três pontos

Estudo da Reta

Equação geral e reduzida da reta
Intersecção entre retas

Paralelismo
Perpendicularidade
Ângulos entre retas
Distância entre ponto e reta

Estudo da Circunferência

Equação geral e reduzida da circunferência
Posições relativas entre ponto e circunferência
Posições relativas entre reta e circunferência
Problemas relacionados à tangência

Estudo das Cônicas

Elipse
Hipérbole
Parábola e Intersecção entre cônicas
Retas tangentes a uma cônica


Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Geometria analítica"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geometria-analitica.htm. Acesso em 03 de julho de 2022.

Lista de exercícios


Exercício 1

Quando duas retas são paralelas, o que se pode concluir a respeito de suas projeções ortogonais sobre um plano qualquer?

a) São retas transversais.

b) São retas paralelas.

c) São retas coincidentes.

d) São retas em planos distintos.

e) São retas perpendiculares.

Exercício 2

Qual é a distância aproximada, em metros, entre o armazém A e a padaria B, sabendo que as suas coordenadas no mapa são dadas pelas coordenadas do ponto A (2,4) e do ponto B (3, -8)?

a) 40,4 m

b) 50,4 m

c) 12,3 m

d) 11,4 m

e) 12,4 m

Artigos Geometria analítica


René Descartes foi o criador do Plano Cartesiano
Matemática

A Matemática de René Descartes (1596 – 1650)

A criação da Geometria Analítica.

Relação entre ângulo, normas e produto interno de dois vetores
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Ângulo entre dois vetores

Clique para aprender a calcular o ângulo entre dois vetores!

Matemática

Área da Região Triangular em Relação as Coordenadas dos Vértices

Utilizando Matrizes no cálculo da área de uma região triangular.

Matemática

Área de uma região triangular através do determinante

Calculando a área de uma região triangular conhecendo as coordenadas de seus vértices.

Matemática

Área do triângulo por meio da Geometria Analítica

Área do triângulo na geometria analítica

Matemática

As bissetrizes dos quadrantes

Determinando a bissetriz dos quadrantes de acordo com a equação da reta.

Matemática

Baricentro de um triângulo

Entenda o que é o baricentro de um triângulo e como calculá-lo no plano cartesiano, além de conferir suas propriedades.

Matemática

Cálculo do coeficiente angular de uma reta

Determinando a tangente do ângulo de inclinação da reta.

Matemática

Condição de alinhamento de três pontos

Verificando o alinhamento de três pontos utilizando matrizes.

Matemática

Condição de alinhamento de três pontos

reta, condição de alinhamento de três pontos, ponto, coeficiente angular, cálculo do coeficiente angular, igualdade dos coeficientes angulares, retas paralelas, retas coincidentes.

Matemática

Condição de alinhamento de três pontos utilizando determinantes

reta, condição de alinhamento de três pontos, ponto, coeficiente angular, cálculo do coeficiente angular, igualdade dos coeficientes angulares, retas paralelas, retas coincidentes, determinantes...

Matemática

Condição de concorrência de duas retas

Determinando as condições e os pontos de coordenadas da intersecção entre retas.

Hipérbole: cônica formada pela intersecção de um plano com um cone
Matemática

Cônicas

Descubra o que são cônicas, figuras geométricas planas obtidas pela intersecção de um plano com um cone de revolução. As cônicas conhecidas são: circunferência, elipse, parábola e...

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Distância entre dois pontos

A menor distância entre quaisquer dois pontos é uma reta. Veja como calcular essa distância e saiba como estabelecer uma relação matemática para determiná-la

O Teorema de Pitágoras é usado para descobrir a distância entre dois pontos no espaço
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Distância entre dois pontos no espaço

Clique para aprender a calcular a distância entre dois pontos no espaço e para obter uma demonstração de sua validade.

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Distância entre ponto e reta

Determinando a distância entre um ponto e uma reta.

Matemática

Elipse

Aprenda o que é uma elipse, aqui! Conheça os principais elementos e a equação dessa figura. Calcule a área da elipse e saiba representá-la no plano cartesiano.

Matemática

Equação Fundamental da Reta

Determinando a equação da reta.

Matemática

Equação fundamental da reta

Ponto, reta, plano cartesiano, coeficiente angular, equação fundamental da reta, como encontrar a equação fundamental da reta, o que é equação fundamental da reta, demonstração da equação...

Representação de uma circunferência no plano cartesiano
Matemática

Equação geral da circunferência

Conheça a equação geral de uma circunferência e aprenda a encontrar o centro e o raio dessa figura geométrica. Veja ainda exercícios resolvidos sobre o assunto.

A equação da reta relaciona a geometria com a álgebra.
Matemática

Equação geral da reta

Conheça qual é a equação geral da reta e como encontrá-la, além de conferir a representação gráfica de uma reta a partir da sua equação.

“Equação paramétrica da reta” escrita sobre fundo composto por livros e um quadro-negro.
Matemática

Equação paramétrica da reta

Aprenda a encontrar a equação paramétrica de uma reta bem como, por meio dela, os pontos pertencentes à reta. Fixe o conteúdo com nossos exercícios resolvidos.

Matemática

Equação reduzida da circunferência

A equação da circunferência depende da coordenada do centro e do raio, veja aqui como determinar sua equação reduzida. Confira nossos exercícios sobre o tema!

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Equação reduzida da reta

Conheça a equação da reta, entenda o que é coeficiente angular e coeficiente linear, bem como aprenda a encontrar a equação de uma reta qualquer.

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Equação segmentária da reta

Outra forma de equação da reta

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Generalidades sobre as equações da reta

Generalidades sobre as equações da reta, Forma geral da reta, equação geral da reta, Forma reduzida da reta, equação reduzida da reta, Forma paramétrica da reta, equação paramétrica da reta.

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Geometria analítica

Saiba o que a geometria analítica estuda e sua origem. Aprenda os principais conceitos da geometria analítica e confira nosso exercício resolvido sobre o tema.

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Hipérbole

Clique aqui e aprenda o que é uma hipérbole e qual é a sua equação.

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Inclinação da reta e o seu coeficiente angular

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Vetor v e notação utilizada para sua norma
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Norma de um vetor

Clique para aprender a calcular a norma de um vetor e quais são as relações entre norma, comprimento e módulo vetorial!

Representação geométrica da operação de soma de vetores
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Operações com vetores e representações geométricas

Veja as operações básicas entre vetores, além de algumas representações geométricas dessas operações!

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Os Primeiros Conceitos

Noções de Geometria, conceitos básicos.

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Parábola

Descrevendo a parábola de acordo com a Geometria Analítica.

A interseção entre retas é o ponto de encontro desses elementos e pode ser representada em gráfico
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Ponto de interseção entre duas retas

Descubra o que é ponto de interseção ou ponto de encontro entre duas retas e conheça técnicas para encontrar suas coordenadas.

O ponto médio separa o segmento de reta em duas partes com medidas iguais
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Ponto médio de um segmento de reta

Aprenda a calcular o ponto médio de um segmento de reta por meio da Geometria Analítica!

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Posições Relativas

Ponto, reta e circunferência: posições relativas.

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Posições relativas entre um ponto e uma circunferência

O estudo das posições relativas entre um ponto e uma circunferência através do cálculo da distância entre dois pontos.

Na Matemática, flechas representam vetores geometricamente
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Confira a definição de produto interno entre dois vetores e algumas propriedades e resultados decorrentes dessa definição.

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Retas horizontais e verticais

Geometria analítica, ponto, pares ordenados, abscissas, ordenadas, Coeficiente angular, equação da reta horizontal, equação da reta vertical, reta vertical, reta horizontal.

Retas paralelas não possuem nenhum ponto em comum.
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Retas paralelas

Entenda o que são retas paralelas e quais são os seus tipos. Além disso, confira exercícios resolvidos sobre o tema.

Retas paralelas quando cortadas por uma transversal formam oito ângulos com características de congruência
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Retas paralelas cortadas por uma transversal

Você já analisou retas paralelas cortadas por uma transversal? Veja os tipos de ângulos formados por elas e suas propriedades de congruência.

Retas perpendiculares
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Retas perpendiculares

Entenda o que são retas perpendiculares e aprenda qual é a condição para que duas retas representadas no Plano Cartesiano sejam perpendiculares ou não.

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Tangência à circunferência

Conceitos de tangência e equações de retas tangentes a uma circunferência, determinando retas tangentes a uma circunferência que passam por um determinando ponto.

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