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O baricentro é um dos pontos notáveis do triângulo, que, por sua vez, é um dos mais simples polígonos conhecidos. Essa figura geométrica é vastamente estudada, e um dos pontos que merecem atenção é o conceito de baricentro.
Conhecemos como baricentro o centro de gravidade do triângulo. Para encontrá-lo, é necessário determinar as suas três medianas, bem como o ponto de encontro entre elas. Quando o triângulo está representado no plano cartesiano, para encontrar o baricentro, basta calcular a média aritmética entre os valores de x e de y para encontrar o par ordenado do baricentro.
Leia também: Como os triângulos são classificados?
Tópicos deste artigo
- 1 - O que é o baricentro?
- 2 - Propriedades do baricentro
- 3 - Como se calcula o baricentro?
- 4 - Exercícios resolvidos
O que é o baricentro?
![O baricentro é um ponto notável do triângulo.](https://s1.static.brasilescola.uol.com.br/be/2021/03/baricentro.jpg)
O triângulo possui pontos importantes, conhecidos como pontos notáveis, e o baricentro é um deles, junto com o circuncentro, o incentro e o ortocentro. O baricentro é o centro de gravidade do triângulo e é representado pela letra G. Ele está localizado no encontro das medianas do triângulo.
A mediana de um triângulo é um segmento que parte de um vértice e vai até o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Em um triângulo qualquer, é possível traçar as três medianas, cada uma delas partindo de um dos vértices.
![Medianas do triângulo](https://s5.static.brasilescola.uol.com.br/be/2021/03/1-1-medianas.jpg)
Quando traçamos simultaneamente as três medianas, as três se encontram em um único ponto. Esse ponto, representado por G, é o baricentro.
![O baricentro (G) é o ponto de encontro das três medianas do triângulo.](https://s4.static.brasilescola.uol.com.br/be/2021/03/2-baricentro.jpg)
Propriedades do baricentro
- Propriedade 1: o baricentro é sempre um ponto interno do triângulo.
Como a mediana é sempre um segmento interno do triângulo, consequentemente o baricentro também é, independentemente da sua forma.
- Propriedade 2: o baricentro divide a mediana em duas partes cuja razão é 1:2.
Analisando o triângulo representado anteriormente, temos que:
Como se calcula o baricentro?
Quando representado no plano cartesiano, é possível encontrar as coordenadas do baricentro do triângulo. Para isso, vamos calcular a média aritmética dos valores de x e também dos valores de y.
![Representação do triângulo no plano cartesiano](https://s4.static.brasilescola.uol.com.br/be/2021/03/triangulo-no-plano-cartesiano.jpg)
Note que os vértices são A (xA, yA), B(xB, yB) e C (xC, yC), então, para encontrar as coordenadas do baricentro G (xG, yG), utilizamos a fórmula:
Veja também: Trigonometria em um triângulo qualquer
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Podemos afirmar que o baricentro do triângulo cujos vértices são os pontos A(2,1), B (- 3, 5) e C (4,3) é o ponto:
A) G (1,3).
B) G (3,1).
C) G (3,3).
D) G (-2,-1).
E) G ( -1,3).
Resolução
Alternativa A. Para encontrar as coordenadas do baricentro do triângulo, vamos calcular a média aritmética entre os valores de x nos pontos A, B e C e entre os valores de y nos mesmos pontos.
Sendo assim, o baricentro é o ponto G (1,3).
Questão 2 – Em uma cidade, serão instaladas três torres de telefonia para resolver o problema com a falha na rede e no sinal para os celulares. Acontece que as posições dessas torres foram planejadas de modo que o centro da cidade coincida com o baricentro do triângulo com vértices em A, B e C, que são as localizações das torres. Para escolher a posição das torres, definiu-se a prefeitura como a origem do eixo, e o centro da cidade se localiza no ponto (1,-1). Certificaram-se que as localizações dos pontos A e B seriam A(12, -6), B(-4,-10). Sendo assim, qual deve ser a localização do ponto C?
A) (3,8)
B) (8,-13)
C) (3,8)
D) (-5, 13)
E) (-5, 8)
Resolução
Alternativa D. Sabemos que G é a localização do centro da cidade, que é o ponto de coordenadas (1,-1).
Seja (x,y) as coordenadas do ponto C, então:
Encontrando também o valor de y:
Desse modo, chegamos a C (-5, 13).
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática