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Condição de alinhamento de três pontos

A condição de alinhamento de três pontos auxilia a verificar se os três pontos pertencem ou não a mesma reta. Para isso, utiliza-se o determinante das coordenadas dos pontos.

Ilustração de um plano cartesiano com indicação de 10 pontos, de A a J.
Dados três pontos no plano cartesiano, eles podem estar alinhados ou não. A condição de alinhamento de três pontos é o modo de verificar isso.
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A condição de alinhamento de três pontos é o método que utilizamos para verificar se três pontos são colineares ou não colineares. Dizemos que os pontos são colineares se eles estão alinhados, ou seja, se existe uma reta que passa por esses três pontos, eles são colineares.

Leia também: O que é distância entre dois pontos?

Tópicos deste artigo

O que são pontos colineares e pontos não colineares?

→ Pontos colineares

Ao representar três pontos no plano cartesiano, conhecemos como pontos colineares os que estão alinhados, ou seja, são três pontos que pertencem a uma mesma reta.

Ilustração de um plano cartesiano com a indicação de três pontos colineares.
Os pontos F, G e H são colineares.

→ Pontos não colineares 

Ao representar três pontos no plano cartesiano, quando não existe uma reta que os contém, dizemos que eles são não colineares.

Ilustração de um plano cartesiano com a indicação de três pontos não colineares.
Os pontos F, G e H não são colineares.

Como saber se três pontos são colineares?

Para sabermos se os três pontos estão ou não alinhados, verificamos se eles satisfazem a condição de alinhamento de três pontos. Para saber se os três pontos são colineares, primeiro construímos a matriz em que os elementos da primeira e segunda coluna são as coordenadas x e y de cada ponto, e a última coluna possui termos igual a 1. Dados três pontos de coordenadas P1x1,y1, P2x2,y2 e P3x3,y3, se esses três pontos estão alinhados, eles serão colineares se:

\(det(A)=\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{matrix}\right|=0\ \)

Caso o determinante det(A) seja diferente de 0, então esses pontos são ditos não colineares.

Exemplo 1

Verifique se os pontos A(3, 2), B(4, 4) e C(5, 6) são colineares.

Resolução

Para verificar se esses pontos são colineares, primeiro montaremos o determinante da matriz, substituindo cada linha pela abcissa e a ordenada de cada ponto:

\(det(A)=\left|\begin{matrix}3&2&1\\4&4&1\\5&6&1\\\end{matrix}\right|\ \) 

Calculando o det(A), temos que:

\(det\left(A\right)=3\cdot4\cdot1+2\cdot1\cdot5+1\cdot4\cdot6-1\cdot4\cdot5-3\cdot1\cdot6-2\cdot4\ \cdot1\)

\(det\left(A\right)=12+10+24-20-18-8\)

\(det\left(A\right)=46-46\)

\(det\left(A\right)=0\)

Como det(A) = 0, então os pontos A, B e C são colineares.

Exemplo 2

Verifique se os pontos D(1, 4), E(2, 1) e F(5, 5) estão alinhados.

Resolução

Montando o determinante, temos que:

\(det(A)=\left|\begin{matrix}1&4&1\\2&1&1\\5&5&1\\\end{matrix}\right|\ \) 

Calculando o determinante:

\(det\left(A\right)=1\cdot1\cdot1+4\cdot1\cdot5+1\cdot2\cdot5-1\cdot1\cdot5-1\cdot1\cdot5-4\cdot2\cdot1\)

\(det\left(A\right)=1+20+10-5-5-8\)

\(det\left(A\right)=31-18\)

\(det(A)=13\)

Podemos afirmar que os pontos D, E e F não são colineares.

Veja também: Condição de concorrência de duas retas — qual é?

Exercícios resolvidos sobre condição de alinhamento de três pontos

Questão 1

Os pontos A(1, 2), B(3, 8) e C(t, 0) são colineares. Nessas condições, podemos afirmar que o valor de t é:

A) 1/2

B) 1/3

C) 5/3

D) 7/2

E) 2/5

Resolução:

Alternativa B

Montando o determinante, temos que:

\(det(A)=\left|\begin{matrix}1&2&1\\3&8&1\\t&0&1\\\end{matrix}\right|\ \) 

Calculando o determinante:

\(det\left(A\right)=1\cdot8\cdot1+2\cdot1\cdot t+1\cdot3\cdot0-1\cdot8\cdot t-1\cdot1\cdot0-2\cdot3\cdot1\)

\(det\left(A\right)=8+2t+0-8t-0-6\)

\(det\left(A\right)=-6t+2\)

Sabemos que det(A) = 0, logo, temos que:

\(-6t+2=0\)

\(-6t=-\ 2\)

\(t=\frac{2}{6}\)

Simplificando a fração, temos que:

\(t=\frac{1}{3}\)

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Questão 2

Sobre a condição de alinhamentos de três pontos, podemos afirmar que:

I. Três pontos são sempre colineares.

II. Três pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta.

III. Se os pontos \(P_1\left(x_1,y_1\right),\ P_2\left(x_2,y_2\right)\ e\ P_3\left(x_3,y_3\right)\) são colineares, então:

\(\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{matrix}\right|\neq0\ \)

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Todas as afirmativas são verdadeiras.

E) Somente a afirmativa I é falsa.

Resolução:

Alternativa B

I. Três pontos são sempre colineares. (Falso)

Nem sempre os pontos são colineares.

II. Três pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta. (Verdadeiro)

III. Se os pontos \(P_1\left(x_1,y_1\right),\ P_2\left(x_2,y_2\right)\ e\ P_3\left(x_3,y_3\right)\) são colineares, então: \(\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{matrix}\right|\neq0\) (Falso)

Para que os pontos sejam colineares, é necessário que o determinante seja igual a zero, e não diferente de zero.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Raul Rodrigues de Oliveira Graduado em Matemática pela Universidade Federal de Goiás. Atua como professor do programa PIC Jr. (OBMEP) e como professor preceptor do programa Residência Pedagógica. Também é professor concursado da Seduc-GO, gestor escolar e produtor de conteúdo didático.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Condição de alinhamento de três pontos"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/condicao-alinhamento-tres-pontos-2.htm. Acesso em 21 de abril de 2024.

De estudante para estudante


Lista de exercícios


Exercício 1

Verifique se os pontos A(0, 4), B(–6, 2) e C(8, 10) estão alinhados.

Exercício 2

Determine o valor de y de maneira que os pontos P(1, 3), Q(3, 4) e R(y, 2) sejam os vértices de um triângulo qualquer.