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Condição de alinhamento de três pontos

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O alinhamento de três pontos pode ser determinado aplicando o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3x3. Ao calcular o determinante da matriz construída utilizando as coordenadas dos pontos em questão e encontrando valor igual a zero, podemos afirmar que existe colinearidade dos três pontos. Observe os pontos no plano cartesiano a seguir:

As coordenadas dos pontos A, B e C são:

Ponto A (x1,y1)
Ponto B (x2,y2)
Ponto C (x3,y3)

Através dessas coordenadas iremos montar a matriz 3x3, as abscissas dos pontos constituirão a 1ª coluna; as ordenadas, a 2ª coluna e a terceira coluna será complementada com o número um.

Aplicando Sarrus temos:

x1*y2*1 + y1*1*x3 + 1*x2*x3 – (y1*x2*1 + x1*1*y3 + 1*y2*x3) = 0
x1y2 + y1x3 + x2*x3 – y1x2 – x1y3 – y2x3 = 0


Exemplo 1

Vamos verificar se os pontos P(2,1), Q(0,-3) e R(-2,-7) estão alinhados.
Resolução:
Vamos construir a matriz através das coordenadas dos pontos P, Q e R e aplicar Sarrus.

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2*(–3)*1 + 1*1*(–2) + 1*(–7)*0 – [1*(–3)*( –2) + 1*0*1 + 2*(–7)*1] = 0
– 6 – 2 – 0 – [6 + 0 – 14] = 0
– 8 – 6 +14 = 0
–14 + 14 = 0
0 = 0

Podemos verificar que os pontos estão alinhados, pois o determinante da matriz das coordenadas dos pontos é nulo.


Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Geometria Análítica - Matemática - Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Condição de alinhamento de três pontos "; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/condicao-alinhamento-tres-pontos-2.htm. Acesso em 23 de maio de 2022.

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Dados os conjuntos a = 1, 2, 3 ,5, 12  B = 2,7,8 ,11 e C = 2,4,5,8,9 então (A u C)  a interseção de B é igual a.
a) {1,2,8} b) {1,3,12 c) {4,8,9} d) {7,8,11}

Por elenilson Silva
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Lista de exercícios


Exercício 1

Verifique se os pontos A(0, 4), B(–6, 2) e C(8, 10) estão alinhados.

Exercício 2

Determine o valor de y de maneira que os pontos P(1, 3), Q(3, 4) e R(y, 2) sejam os vértices de um triângulo qualquer.

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