Equação reduzida da reta

A equação reduzida da reta facilita a representação de uma reta no plano cartesiano. Na geometria analítica, é possível realizar essa representação e descrever a reta a partir da equação y = mx + n, em que m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear. Para encontrar essa equação, é necessário conhecer dois pontos da reta, ou um ponto e o ângulo formado entre a reta e o eixo x no sentido anti-horário.

Leia também: O que é reta?

Tópicos deste artigo

• 1 - Qual é a equação reduzida da reta?
• 2 - Coeficiente angular
• 3 - Coeficiente linear
• 4 - Como calcular a equação reduzida da reta
• 5 - Exercícios resolvidos

Qual é a equação reduzida da reta?

Na geometria analítica, buscamos uma lei de formação para descrever figuras planas, como a circunferência, uma parábola, a própria reta, entre outras. A reta possui duas possibilidades de equação, a equação geral da reta e a equação reduzida da reta.

A equação reduzida da reta é y = mx + n, em que x e y são, respectivamente, a variável independente e a variável dependente; m é o coeficiente angular, e n é o coeficiente linear. Além disso, m e n são números reais. Com a equação reduzida da reta, é possível calcular quais são os pontos que pertencem a essa reta e quais não pertencem.

Coeficiente angular

O coeficiente angular nos diz muito sobre o comportamento da reta, pois, a partir dele, é possível analisar a inclinação da reta e identificar se ela é crescente, decrescente ou constante. Além disso, quanto maior o valor do coeficiente angular, maior será o ângulo entre a reta e o eixo x, no sentido anti-horário.

Para calcular o coeficiente angular da reta, existem duas possibilidades. A primeira é saber que ele é igual à tangente do ângulo α:

Sendo α o ângulo entre a reta e o eixo x, conforme a imagem.

Nesse caso, basta conhecermos o valor do ângulo e calcular a tangente dele para encontrar o coeficiente angular.

Exemplo:

Qual é o valor do coeficiente angular da reta a seguir?

Resolução:

O segundo método para calcular o coeficiente angular é conhecendo dois pontos pertencentes à reta. Seja A(x₁,y₁) e B (x₂,y₂), então o coeficiente angular pode ser calculado por:

Exemplo:

Encontre o valor do coeficiente angular da reta representada no plano cartesiano a seguir. Considere A(-1, 2) e B (2,3).

Resolução:

Como conhecemos dois pontos, temos que:

Para tomar a decisão sobre qual método utilizar para calcular o coeficiente angular da reta, primeiro é necessário analisar quais são as informações que temos. Se o valor do ângulo α for conhecido, basta calcular a tangente desse ângulo; agora, se conhecemos somente o valor de dois pontos, nesse caso é necessário calcular por meio do segundo método.

O coeficiente angular nos possibilita analisar se a reta é crescente, decrescente ou constante. Assim,

m > 0, a reta será crescente;

m = 0 a reta será constante;

m < 0 a reta será decrescente.

Leia também: Distância entre dois pontos

Coeficiente linear

O coeficiente linear n é o valor da ordenada quando x = 0. Isso significa que n é o valor de y para o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Graficamente, para encontrar o valor de n, basta encontrar o valor de y no ponto (0,n).

Como calcular a equação reduzida da reta

Para encontrarmos a equação reduzida da reta, é necessário encontrar o valor de m e de n. Encontrando o valor do coeficiente angular e conhecendo um de seus pontos, é possível encontrar o coeficiente linear com facilidade.

Exemplo:

- Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A (2,2) e B (3,4).

→ 1º passo: encontrar o coeficiente angular m.

→ 2º passo: encontrar o valor de n.

Para encontrar o valor de n, precisamos de um ponto (podemos escolher entre o ponto A e B) e do valor do coeficiente angular.

Sabemos que a equação reduzida é y = mx + n. Calculamos m = 2 e, utilizando o ponto B(3,4), vamos substituir o valor de x,y e m.

y = mx + n

4 = 2·3 + n

4 = 6 + n

4 – 6 = n

n = – 2

→ 3º passo: escrever a equação substituindo o valor de n e m, que agora são conhecidos.

y = 2x – 2

Essa será a equação reduzida da nossa reta.

Leia também: Ponto de interseção entre duas retas

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Enem 2017) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na primeira semana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. Mas esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30.

A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é:

a) L(t) = 20t + 3 000

b) L(t) = 20t + 4 000

c) L(t) = 200t

d) L(t) = 200t – 1 000

e) L(t) = 200t + 3 000

Resolução:

Analisando o gráfico, é possível perceber que já temos o coeficiente linear n, pois ele é o ponto em que a reta toca o eixo y. Nesse caso, n = - 1 000.

Agora analisando os pontos A (0, -1000) e B (20, 3 000), calcularemos o valor de m.

Logo, L(t) = 200t – 1000.

Letra D

Questão 2 - A diferença entre o valor do coeficiente linear e o coeficiente angular da reta crescente que passa pelo ponto (2,2) e faz um ângulo de 45º com o eixo x é de:

a) 2

b) 1

c) 0

d) -1

e) -2

Resolução:

→ 1º passo: calcular o coeficiente angular.

Como conhecemos o ângulo, sabemos que:

m = tgα

m = tg45º

m = 1

→ 2º passo: encontrar o valor do coeficiente linear.

Seja m = 1 e A (2,2), realizando a substituição na equação reduzida, temos que:

y = mx + n

2 = 2 ·1 + n

2= 2 + n

2 – 2 = n

n = 0

→ 3º passo: calcular a diferença na ordem que foi pedida, ou seja, n – m.

0 – 1 = –1

Letra D

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática