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Equação geral da circunferência

Matemática

Conhecemos como equação geral da circunferência a equação x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0. Ela é obtida pelo cálculo do quadrado da diferença da equação reduzida.
Representação de uma circunferência no plano cartesiano
Representação de uma circunferência no plano cartesiano
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  A equação geral da circunferência é objeto de estudo da geometria analítica, que busca descrever de forma algébrica objetos geométricos. Essa equação é obtida quando desenvolvemos as diferenças de quadrados encontradas na equação reduzida, sendo uma equação do tipo x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0, em que C(a, b) é o centro da circunferência e r é o raio.

Analisando o gráfico da equação da circunferência, também é possível encontrar a equação geral por meio do valor do seu centro e do seu raio.

Leia também: Equação reduzida da circunferência — aprenda a determiná-la

Qual é a equação geral da circunferência?

No estudo da geometria analítica, é bastante comum realizar a análise de objetos geométricos e buscar descrevê-los por meio de uma equação. Com o estudo específico para a circunferência, foram desenvolvidos dois tipos de equações: a equação geral e a equação reduzida. A equação geral é a seguinte:

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0

Essa equação geral é deduzida a partir da equação reduzida. Vejamos a representação da circunferência de centro C(a,b) e raio r no plano cartesiano:

Representação da circunferência de centro C(a,b) e raio r no plano cartesiano

Essa circunferência possui centro C(a,b) e raio r, então a sua equação reduzira é:

(x – a) ² + (y – b)² = r²

Note que existem dois quadrados da diferença na equação e podemos desenvolvê-los para encontrar a equação geral da circunferência:

(x – a)² = x² – 2ax + a²

(y – b)² = y² – 2by + b²

Substituindo na equação, temos que:

x² – 2ax + a² + y² – 2bx + b² = r²

Agora vamos passar o r² para o primeiro membro e reordenar os termos para encontrar a equação geral da circunferência:

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0

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Passo a passo para calcular a equação geral da circunferência

Para encontrar a equação geral de uma circunferência representada no plano cartesiano, basta seguir alguns passos.

  • 1º passo: identificar o centro e o raio da circunferência.

  • 2º passo: substituir na equação geral da circunferência os valores encontrados anteriormente.

Exemplo:

Encontre a equação geral da circunferência a seguir:

Ilustração de circunferência no plano cartesiano para cálculo da equação geral

Resolução:

Analisando a representação da circunferência, o ponto C possui coordenadas C( – 1, 1) e, do centro até uma extremidade, há 2 unidades, logo o raio é igual a 2.

Agora que conhecemos o centro e o raio, temos que a = – 1, b = 1 e r = 2. Substituindo na fórmula da equação geral:

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0

x² + y² – 2· ( – 1) · x – 2 · 1 · y + (– 1)² + 1² – 2² = 0

Agora realizaremos a operação até encontrar a equação:

x² + y² + 2x – 2y + 1 + 1 – 4 = 0

x² + y² + 2x – 2y – 2 = 0

Logo, a equação geral dessa circunferência é: x² + y² + 2x – 2y – 2 = 0.

Leia também: Diferenças entre círculo e circunferência

Como calcular o centro e o raio da circunferência?

Dada a equação da circunferência, é possível encontrar o centro e o raio por meio do método da comparação. Vejamos na prática como fazer isso.

Exemplo:

Encontre o centro e o raio da circunferência com equação geral x² + y² + 8x – 2y + 1= 0.

Resolução:

Sabemos que a equação geral da circunferência é x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0. Queremos encontrar o valor de (a,b) e, para isso, vamos comparar os termos da equação:

– 2ax = 8x

– 2a = 8

a = 8 : ( – 2)

a = – 4.

Também temos que:

– 2by = – 2y

– 2b = – 2

b = – 2 : ( – 2)

b = 1

Agora que conhecemos o valor de a e b, vamos analisar o termo independente:

a² + b² – r² = 1

( – 4)² + 1² – r² = 1

16+1 – r² = 1

17 – r² = 1

17 – 1 = r²

16 = r²

r = √16

r = 4

Exercícios resolvidos

Questão 1

Conhecendo a circunferência x² + y² – 6x +8y +5 = 0, o raio dessa circunferência é igual a:

A) 2√5

B) 50

C) 20

D) 10

E) √2

Resolução:

Alternativa A.

Queremos encontrar o raio r da equação. Para isso, é necessário antes encontrar o valor de a e b.

Sabemos que:

2ax = – 6x

2a = – 6

a = – 6 : 2

a = – 3

Agora encontraremos o valor de b:

2by = 8y

2b = 8

b = 8 : 2

b = 4

Agora encontraremos o valor de r:

a² + b² – r² = 5

( – 3)² + 4² – r² = 5

9 + 16 – r² = 5

25 – r² = 5

25 – 5 = r²

20 = r²

r² = 20

r = √20

r = 2√5

Questão 2

A equação geral da circunferência que possui raio 7 e centro C( -5,2) é?

A) x² + y² + – 3 = 7

B) (x + 5)² + (y – 2)² = 49

C) (x – 5)² + (y – 2)² = 1

D) x² + y² + 10x – 4y – 20 = 0

E) x² + y² + 10x +4y + 20 = 0

Resolução:

Alternativa D.

Sabemos que a fórmula da equação geral é:

x² + y² – 2ax – 2ay + a² + b² – r² = 0

Sabemos que a = – 5, b = 2 e r = 7.

Substituindo na fórmula, temos que:

x² + y² – 2 · ( – 5) · x – 2 · 2 · y + (– 5)² + 2² – 7² = 0

x² + y² + 10x – 4y + 25 + 4 – 49 = 0

x² + y² + 10x – 4y – 20 = 0  

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Equação geral da circunferência"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-normal-circunferencia.htm. Acesso em 19 de outubro de 2021.

Lista de Exercícios
Questão 1

Determine a equação da circunferência que possui centro em C(3, 6) e raio 4.

Questão 2

O centro de uma circunferência é determinado pelo ponto médio do segmento PQ, sendo P(4, 6) e Q(2, 10). Considerando que o raio dessa circunferência é 7, determine sua equação.

Mais Questões
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