Equação paramétrica da reta

A equação paramétrica da reta é uma entre as diversas formas de se representar a reta de forma algébrica. Nela há uma equação para o valor de x e uma equação para o valor de y, ambas em função do mesmo parâmetro t. De modo geral, a equação paramétrica da reta é a equação tal que f(t) = x e g(t) = x, em que $f(t)=x_0+at$ e $g(t)=y_0+bt$.

Leia também: Ponto de interseção entre duas retas

Tópicos deste artigo

• 1 - Parâmetros
• 2 - Como calcular as equações paramétricas da reta?
• 3 - Exercícios resolvidos sobre a equação paramétrica da reta

Parâmetros

A equação paramétrica da reta é uma das maneiras de se representar a reta. Utilizamos como parâmetro uma variável t e reescrevemos as variáveis x e y em função do valor de t, logo, de modo geral, a equação paramétrica da reta é esta:

Os pontos pertencentes à reta, P(f(t), g(t)), satisfazem a equação paramétrica. Então, de modo geral, conhecendo a equação paramétrica, temos que r(t) = ($x_0+at,y_0+bt$). Para encontrar os pontos pertencentes à reta, basta atribuirmos valores para t.

Exemplo:

Conhecendo a equação paramétrica, podemos encontrar os pontos que pertencem a essa reta substituindo o valor de t.

Exemplo 1:

t = 1

$f(1)=2⋅1-1=2-1=1$

$g(1)=4⋅1+1=4+1=5$

Então o ponto A(1, 5) pertence à reta.

Exemplo 2:

t = -1

$f(-1)=2⋅(-1)-1=-2-1=-3$

$g(-1)=4⋅(-1)+1=-4+1=-3$

Então o ponto B(-3, -3) pertence à reta. 

Como calcular as equações paramétricas da reta?

Conhecendo a equação geral da reta, é possível encontrar a equação paramétrica da reta, para isso, buscamos reescrever as duas variáveis em função de t.[1]

Exemplo:

Escreva a equação paramétrica da reta 3x + 4y – 16 = 0.

Resolução:

Primeiro isolaremos a variável x:

$3x=-4y+15$

$x=\frac{-4}{3} y+\frac{15}{3}$

$x=\frac{-4}{3} y+5$

Note que o numerador da fração do coeficiente de y é -4. Para que seja possível colocar 4 em evidência, reescreveremos 5 como 4 + 1.

$x=\frac{-4}{3} y+4+1$

$x=4(\frac{y}{3}+1)+1$

Chamaremos $\frac{y}{3}+1=t$, assim:

$x=4t+1$

Fazendo x = f(t), então $f(t)=4t+1$.

Agora encontraremos g(t):

$\frac{y}{3}+1=t$

$\frac{y}{3}=t-1$

$y=3t-3$

Seja g(t) = y, então g(t) = 3t – 3.

Assim a equação paramétrica da reta é:

Podemos encontrar também a equação geral da reta por meio da equação parametrizada da reta. Para isso, isolaremos a variável t em uma das equações e substituir na outra.

Exemplo:

Encontre a equação geral da reta cuja equação paramétrica é:

Sabemos que f(t) = x, então x = 2t – 1. Isolando o t, temos que:

$x=2t-1$

$x-1=2t$

$t=\frac{x-1}2$

Na outra equação, temos que g(t) = y.

$y=4t+1$

Substituindo t pelo valor isolado na primeira equação:

$y=4⋅(\frac{x-1}{2})+1$

$y=2⋅(x-1)+1$

$y=2x-2+1$

$y=2x-1$

Ao igualar a zero, encontraremos a equação geral da reta:

$y-2x+1=0$

Leia também: Equação reduzida da reta — um método que facilita a representação da reta no plano cartesiano

Exercícios resolvidos sobre a equação paramétrica da reta

Questão 1

Dada a reta de equação paramétrica r(t) = (2t – 3, 4t + 1), marque a alternativa que possui as coordenadas dos pontos da reta, cujo valor de t = 0,5.

A) A$(-1,-2)$

B) A(1, $-2$)

C) A(2, 3)

D) A($-2$, 3)

E) A( 3,$-2$)

Resolução:

Alternativa D

As coordenadas desse ponto serão:

$x=2⋅0,5-3$

$x=1-3$

$x=-2$

Agora calculando y:

$y=4⋅0,5+1$

$y=2+1$

$y=3$

Então as coordenadas do ponto serão:

A($-2$, 3)

Questão 2

A equação geral da reta que possui equação paramétrica é:

A) 3y – 2x + 1 = 0

B) y + 2x – 2 = 0

C) y + x – 1 = 0

D) 2y – 3x + 3 = 0

E) y + 3x – 1 = 0

Resolução:

Alternativa E

Seja f(t) = x e g(t) = y, temos que:

x = t + 1

Isolando o t:

x – 1 = t

Substituindo t por x – 1 na equação g(t), temos que:

y = –3(x – 1) – 2

y = –3x + 3 – 2

y = – 3x +1

Igualando a zero, então a equação geral da reta será:

y + 3x – 1 = 0

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática