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Equação paramétrica da reta

Equação paramétrica é uma das equações da reta. Utilizamos o parâmetro t para escrever a equação paramétrica, que nos dá as coordenadas dos pontos pertencentes à reta.

“Equação paramétrica da reta” escrita sobre fundo composto por livros e um quadro-negro.
A equação paramétrica da reta é a equação da reta descrita em função do parâmetro t.
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A equação paramétrica da reta é uma entre as diversas formas de se representar a reta de forma algébrica. Nela há uma equação para o valor de x e uma equação para o valor de y, ambas em função do mesmo parâmetro t. De modo geral, a equação paramétrica da reta é a equação tal que f(t) = x e g(t) = x, em que \(f(t)=x_0+at\) e \(g(t)=y_0+bt\).

Leia também: Ponto de interseção entre duas retas

Tópicos deste artigo

Parâmetros

A equação paramétrica da reta é uma das maneiras de se representar a reta. Utilizamos como parâmetro uma variável t e reescrevemos as variáveis x e y em função do valor de t, logo, de modo geral, a equação paramétrica da reta é esta:

Equação paramétrica da reta

Os pontos pertencentes à reta, P(f(t), g(t)), satisfazem a equação paramétrica. Então, de modo geral, conhecendo a equação paramétrica, temos que r(t) = (\(x_0+at,y_0+bt\)). Para encontrar os pontos pertencentes à reta, basta atribuirmos valores para t.

Exemplo:

Equação paramétrica da reta com valores para t

Conhecendo a equação paramétrica, podemos encontrar os pontos que pertencem a essa reta substituindo o valor de t.

Exemplo 1:

t = 1

\(f(1)=2⋅1-1=2-1=1\)

\(g(1)=4⋅1+1=4+1=5\)

Então o ponto A(1, 5) pertence à reta.

Exemplo 2:

t = -1

\(f(-1)=2⋅(-1)-1=-2-1=-3\)

\(g(-1)=4⋅(-1)+1=-4+1=-3\)

Então o ponto B(-3, -3) pertence à reta. 

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Como calcular as equações paramétricas da reta?

Conhecendo a equação geral da reta, é possível encontrar a equação paramétrica da reta, para isso, buscamos reescrever as duas variáveis em função de t.[1]

Exemplo:

Escreva a equação paramétrica da reta 3x + 4y – 16 = 0.

Resolução:

Primeiro isolaremos a variável x:

\(3x=-4y+15\)

\(x=\frac{-4}{3} y+\frac{15}{3}\)

\(x=\frac{-4}{3} y+5\)

Note que o numerador da fração do coeficiente de y é -4. Para que seja possível colocar 4 em evidência, reescreveremos 5 como 4 + 1.

\(x=\frac{-4}{3} y+4+1\)

\(x=4(\frac{y}{3}+1)+1\)

Chamaremos \(\frac{y}{3}+1=t\), assim:

\(x=4t+1\)

Fazendo x = f(t), então \(f(t)=4t+1\).

Agora encontraremos g(t):

\(\frac{y}{3}+1=t\)

\(\frac{y}{3}=t-1\)

\(y=3t-3\)

Seja g(t) = y, então g(t) = 3t – 3.

Assim a equação paramétrica da reta é:

Equação paramétrica da reta 3x + 4y – 16 = 0

Podemos encontrar também a equação geral da reta por meio da equação parametrizada da reta. Para isso, isolaremos a variável t em uma das equações e substituir na outra.

Exemplo:

Encontre a equação geral da reta cuja equação paramétrica é:

Equação paramétrica para determinar equação geral da reta

Sabemos que f(t) = x, então x = 2t – 1. Isolando o t, temos que:

\(x=2t-1\)

\(x-1=2t\)

\(t=\frac{x-1}2\)

Na outra equação, temos que g(t) = y.

\(y=4t+1\)

Substituindo t pelo valor isolado na primeira equação:

\(y=4⋅(\frac{x-1}{2})+1\)

\(y=2⋅(x-1)+1\)

\(y=2x-2+1\)

\(y=2x-1\)

Ao igualar a zero, encontraremos a equação geral da reta:

\(y-2x+1=0\)

Leia também: Equação reduzida da reta — um método que facilita a representação da reta no plano cartesiano

Exercícios resolvidos sobre a equação paramétrica da reta

Questão 1

Dada a reta de equação paramétrica r(t) = (2t – 3, 4t + 1), marque a alternativa que possui as coordenadas dos pontos da reta, cujo valor de t = 0,5.

A) A\((-1,-2)\)

B) A(1, \(-2\))

C) A(2, 3)

D) A(\(-2\), 3)

E) A( 3,\(-2\))

Resolução:

Alternativa D

As coordenadas desse ponto serão:

\(x=2⋅0,5-3\)

\(x=1-3\)

\(x=-2\)

Agora calculando y:

\(y=4⋅0,5+1\)

\(y=2+1\)

\(y=3\)

Então as coordenadas do ponto serão:

A(\(-2\), 3)

Questão 2

A equação geral da reta que possui equação paramétrica é:

A) 3y – 2x + 1 = 0

B) y + 2x – 2 = 0

C) y + x – 1 = 0

D) 2y – 3x + 3 = 0

E) y + 3x – 1 = 0

Resolução:

Alternativa E

Seja f(t) = x e g(t) = y, temos que:

x = t + 1

Isolando o t:

x – 1 = t

Substituindo t por x – 1 na equação g(t), temos que:

y = –3(x – 1) – 2

y = –3x + 3 – 2

y = – 3x +1

Igualando a zero, então a equação geral da reta será:

y + 3x – 1 = 0

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Raul Rodrigues de Oliveira Graduado em Matemática pela Universidade Federal de Goiás. Atua como professor do programa PIC Jr. (OBMEP) e como professor preceptor do programa Residência Pedagógica. Também é professor concursado da Seduc-GO, gestor escolar e produtor de conteúdo didático.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Equação paramétrica da reta"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-parametricas.htm. Acesso em 21 de abril de 2024.

De estudante para estudante