Hipérbole (Geometria analítica): o que é, como fazer

A hipérbole é uma cônica, ou seja, é uma das figuras obtidas pela secção de um cone duplo de revolução. A parábola, a circunferência e a elipse são outros tipos de cônicas.

Considere dois pontos fixos, F₁ e F₂, e um número real positivo a. Todos os pontos P que satisfazem a relação abaixo compõem a hipérbole de focos F₁ e F₂:

$\left|d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)\right|=2a$

Leia também: Geometria analítica — área que estuda as formas geométricas com o auxílio da álgebra

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre hipérbole
• 2 - O que é hipérbole?
• 3 - Elementos da hipérbole
• 4 - Qual a fórmula da hipérbole?
  • Caso 1: focos F1 e F2 sobre o eixo horizontal (eixo do x)
  • Caso 2: focos F1 e F2 sobre o eixo vertical (eixo do y)
• 5 - Como fazer uma hipérbole?
• 6 - Para que serve a hipérbole na Matemática?
• 7 - Exercícios resolvidos sobre hipérbole

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Resumo sobre hipérbole

• A hipérbole é uma cônica, assim como a circunferência, a parábola e a elipse.
• Dados dois pontos, F₁ e F₂, com distância 2c  e um número real positivo a, com a < c , chamamos de hipérbole o conjunto de pontos P tais que

$\left|d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)\right|=2a$

• O ponto médio entre os focos F₁ e F₂ é chamado de centro da hipérbole.
• Se os focos F₁ e F₂ estão sobre o eixo horizontal, então a equação da hipérbole é

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

• Se os focos F₁ e F₂ estão sobre o eixo vertical, então a equação da hipérbole é

$-\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

O que é hipérbole?

Considere F₁ e F₂ pontos fixos de distância 2c e a  um número real positivo tal que a < c . A hipérbole é o conjunto de pontos P tais que a diferença em módulo das distâncias até F₁ e F₂ seja igual a 2a. Em notação matemática, escrevemos que os pontos P da hipérbole são tais que

$\left|d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)\right|=2a$

em que $d\left(P,F_1\right)$ é a distância entre P e F₁ e =$d\left(P,F_2\right)$ é a distância entre P e F₂.

Perceba que a hipérbole é formada por dois “pedaços”, chamados de ramos. Um dos ramos contém os pontos P cuja distância aos focos é positiva, ou seja, $d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)=2a$. O outro ramo possui os pontos P cuja distância aos focos é negativa, ou seja, $d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)=-\ 2a$.

Elementos da hipérbole

Para compreender a hipérbole, é fundamental conhecer os elementos que a compõem.

• F₁ e F₂ são os focos da hipérbole.
• A₁ e A₂ são os vértices da hipérbole.
• O é o centro da hipérbole e é ponto médio do segmento F₁F₂.
• O segmento F₁F₂ é o segmento focal, e seu tamanho, de medida 2c, é chamado de distância focal. Assim, $OF_1=OF_2=c$ .
• O segmento A₁A₂ é o eixo real e possui tamanho de medida 2a. Assim, $OA_1=OA_2=a$.
• Os pontos B₁ e B₂ são tais que $B_1A_1=B_1A_2=B_2A_1=B_2A_2=c$.
• O segmento B₁B₂ é o eixo imaginário (ou conjugado) e possui tamanho de medida 2b. Assim, $OB_1=OB_2=b$.
• As retas pontilhadas são assíntotas à hipérbole.

Observação 1: Os segmentos com medida a, b e c podem ser relacionados pelo teorema de Pitágoras. Perceba que o triângulo $B_1OA_2$ é retângulo em O com $OB_1=b$, $OA_2=a$ e $B_1A_2=c$ . Assim, $c^2=a^2+b^2$.

Observação 2: Note que na imagem trabalhada nesse tópico, os focos estão sobre o eixo horizontal e na imagem do tópico anterior os focos estão sobre o eixo vertical. Estes são alguns exemplos do formato de uma hipérbole, mas os focos podem ser pontos do plano cartesiano que não pertencem aos eixos x e y.

Leia também: Parábola — tipo de cônica que representa uma função do 2º grau

Qual a fórmula da hipérbole?

A fórmula da hipérbole é uma expressão que descreve os pontos $P=\left(x,y\right)$ da hipérbole. Essa expressão é chamada de equação da hipérbole e depende da localização dos focos.

Por uma questão de simplicidade, vamos conhecer as equações (reduzidas) da hipérbole para focos sobre o eixo vertical e horizontal.

• Caso 1: focos F₁ e F₂ sobre o eixo horizontal (eixo do x)

Nessas condições, a equação reduzida da hipérbole é

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

• Caso 2: focos F₁ e F₂ sobre o eixo vertical (eixo do y)

Nessas condições, a equação reduzida da hipérbole é

$-\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Como fazer uma hipérbole?

Geometricamente, a hipérbole é obtida pela secção de um cone duplo de revolução de forma paralela ao eixo.

Para que serve a hipérbole na Matemática?

Uma das aplicações da hipérbole é o uso de sua propriedade refletora em espelhos hiperbólicos de telescópios ópticos e radiotelescópios. 

Outras aplicações se relacionam com o hiperboloide. O hiperboloide é uma superfície gerada pela revolução de uma hipérbole. O hiperboloide é utilizado na construção de pequenos objetos, monumentos e instalações industriais.

Exercícios resolvidos sobre hipérbole

Questão 1

Considere $F_1=\left(-2,0\right)$ e $F_2=\left(2,0\right)$ os focos de uma hipérbole com eixo real de medida 2. A equação reduzida dessa hipérbole é

a) $\frac{x^2}{2}-y^2=1$

b) $\frac{x^2}{3}-y^2=1$

c) $x^2-\frac{y^2}{3}=1$

d) $x^2-\frac{y^2}{2}=1$

e) $x^2-2y^2=1$

Resolução

Note que 2c = 4  e 2a = 2 . Assim, c = 2  e a = 1 . Como c2=a2+b2 , temos que b=3 . Logo, considerando que os focos estão sobre o eixo horizontal, temos que a equação reduzida dessa hipérbole é

$x^2-\frac{y^2}{3}=1$

Alternativa C.

Questão 2

Classifique as informações abaixo em V (verdadeira) ou F (falsa).

I. A hipérbole é uma cônica, assim como a elipse, a circunferência e a parábola.

II. Os focos da hipérbole são pontos que pertencem aos ramos da hipérbole.

III. Considere 2c a distância entre F₁ e F₂ e a  um número positivo menor que c. O conjunto de pontos P tais que $\left|d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)\right|=2a$ formam a hipérbole de focos F₁ e F₂.

A ordem correta, de cima para baixo, é

a) F-F-F

b) F-V-F

c) F-V-V

d) V-F-V

e) V-V-V

Resolução

A única afirmação falsa é a II, pois os focos da hipérbole (pontos F₁ e F₂) não pertencem aos ramos da hipérbole.

Alternativa D.

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática