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Hipérbole (Geometria analítica): o que é, como fazer

Dados dois pontos fixos, F1 e F2, a hipérbole é o conjunto de pontos cuja diferença absoluta das distâncias a F1 e F2 é constante. Os pontos F1 e F2 são chamados de focos.

Representação gráfica da construção de uma hipérbole.
Hipérbole xy=1. Os eixos coordenados são assíntotas.
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A hipérbole é uma cônica, ou seja, é uma das figuras obtidas pela secção de um cone duplo de revolução. A parábola, a circunferência e a elipse são outros tipos de cônicas.

Considere dois pontos fixos, F1 e F2, e um número real positivo a. Todos os pontos P que satisfazem a relação abaixo compõem a hipérbole de focos F1 e F2:

\(\left|d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)\right|=2a\)

Leia também: Geometria analítica — área que estuda as formas geométricas com o auxílio da álgebra

Tópicos deste artigo

Resumo sobre hipérbole

  • A hipérbole é uma cônica, assim como a circunferência, a parábola e a elipse.
  • Dados dois pontos, F1 e F2, com distância 2c  e um número real positivo a, com a < c , chamamos de hipérbole o conjunto de pontos P tais que

\(\left|d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)\right|=2a\)

  • O ponto médio entre os focos F1 e F2 é chamado de centro da hipérbole.
  • Se os focos F1 e F2 estão sobre o eixo horizontal, então a equação da hipérbole é

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

  • Se os focos F1 e F2 estão sobre o eixo vertical, então a equação da hipérbole é

\(-\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

O que é hipérbole?

Considere F1 e F2 pontos fixos de distância 2c e a  um número real positivo tal que a < c . A hipérbole é o conjunto de pontos P tais que a diferença em módulo das distâncias até F1 e F2 seja igual a 2a. Em notação matemática, escrevemos que os pontos P da hipérbole são tais que

\(\left|d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)\right|=2a\)

em que \(d\left(P,F_1\right)\) é a distância entre P e F1 e =\(d\left(P,F_2\right)\) é a distância entre P e F2.

Representação dos pontos que formam uma hipérbole.

Perceba que a hipérbole é formada por dois “pedaços”, chamados de ramos. Um dos ramos contém os pontos P cuja distância aos focos é positiva, ou seja, \(d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)=2a\). O outro ramo possui os pontos P cuja distância aos focos é negativa, ou seja, \(d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)=-\ 2a\).

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Elementos da hipérbole

Para compreender a hipérbole, é fundamental conhecer os elementos que a compõem.

Esquema ilustrativo mostra os elementos que formam a hipérbole.

  • F1 e F2 são os focos da hipérbole.
  • A1 e A2 são os vértices da hipérbole.
  • O é o centro da hipérbole e é ponto médio do segmento F1F2.
  • O segmento F1F2 é o segmento focal, e seu tamanho, de medida 2c, é chamado de distância focal. Assim, \(OF_1=OF_2=c\) .
  • O segmento A1A2 é o eixo real e possui tamanho de medida 2a. Assim, \( OA_1=OA_2=a\).
  • Os pontos B1 e B2 são tais que \(B_1A_1=B_1A_2=B_2A_1=B_2A_2=c\).
  • O segmento B1B2 é o eixo imaginário (ou conjugado) e possui tamanho de medida 2b. Assim, \(OB_1=OB_2=b\).
  • As retas pontilhadas são assíntotas à hipérbole.

Observação 1: Os segmentos com medida a, b e c podem ser relacionados pelo teorema de Pitágoras. Perceba que o triângulo \(B_1OA_2\) é retângulo em O com \(OB_1=b\)\(OA_2=a\)\(B_1A_2=c\) . Assim, \(c^2=a^2+b^2\).

Observação 2: Note que na imagem trabalhada nesse tópico, os focos estão sobre o eixo horizontal e na imagem do tópico anterior os focos estão sobre o eixo vertical. Estes são alguns exemplos do formato de uma hipérbole, mas os focos podem ser pontos do plano cartesiano que não pertencem aos eixos x e y.

Leia também: Parábola — tipo de cônica que representa uma função do 2º grau

Qual a fórmula da hipérbole?

A fórmula da hipérbole é uma expressão que descreve os pontos \(P=\left(x,y\right) \) da hipérbole. Essa expressão é chamada de equação da hipérbole e depende da localização dos focos.

Por uma questão de simplicidade, vamos conhecer as equações (reduzidas) da hipérbole para focos sobre o eixo vertical e horizontal.

  • Caso 1: focos F1 e F2 sobre o eixo horizontal (eixo do x)

Nessas condições, a equação reduzida da hipérbole é

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

  • Caso 2: focos F1 e F2 sobre o eixo vertical (eixo do y)

Nessas condições, a equação reduzida da hipérbole é

\(-\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

Como fazer uma hipérbole?

Geometricamente, a hipérbole é obtida pela secção de um cone duplo de revolução de forma paralela ao eixo.

Esquema ilustrativo da secção de um cone duplo de revolução de forma paralela ao eixo, formando uma hipérbole.

Para que serve a hipérbole na Matemática?

Uma das aplicações da hipérbole é o uso de sua propriedade refletora em espelhos hiperbólicos de telescópios ópticos e radiotelescópios. 

Outras aplicações se relacionam com o hiperboloide. O hiperboloide é uma superfície gerada pela revolução de uma hipérbole. O hiperboloide é utilizado na construção de pequenos objetos, monumentos e instalações industriais.

Torre de resfriamento industrial com formato de hiperboloide.
Torre de resfriamento industrial com formato de hiperboloide.

Exercícios resolvidos sobre hipérbole

Questão 1

Considere \(F_1=\left(-2,0\right)\)\(F_2=\left(2,0\right) \) os focos de uma hipérbole com eixo real de medida 2. A equação reduzida dessa hipérbole é

a) \( \frac{x^2}{2}-y^2=1\)

b) \( \frac{x^2}{3}-y^2=1\)

c) \( x^2-\frac{y^2}{3}=1\)

d) \( x^2-\frac{y^2}{2}=1\)

e) \( x^2-2y^2=1\)

Resolução

Note que 2c = 4  e 2a = 2 . Assim, c = 2  e a = 1 . Como c2=a2+b2 , temos que b=3 . Logo, considerando que os focos estão sobre o eixo horizontal, temos que a equação reduzida dessa hipérbole é

\(x^2-\frac{y^2}{3}=1\)

Alternativa C.

Questão 2

Classifique as informações abaixo em V (verdadeira) ou F (falsa).

I. A hipérbole é uma cônica, assim como a elipse, a circunferência e a parábola.

II. Os focos da hipérbole são pontos que pertencem aos ramos da hipérbole.

III. Considere 2c a distância entre F1 e F2 e a  um número positivo menor que c. O conjunto de pontos P tais que \(\left|d\left(P,F_1\right)-d\left(P,F_2\right)\right|=2a\) formam a hipérbole de focos F1 e F2.

A ordem correta, de cima para baixo, é

a) F-F-F

b) F-V-F

c) F-V-V

d) V-F-V

e) V-V-V

Resolução

A única afirmação falsa é a II, pois os focos da hipérbole (pontos F1 e F2) não pertencem aos ramos da hipérbole.

Alternativa D.

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Maria Luiza Alves Rizzo Autora, Leitora Crítica e Revisora de Matemática apaixonada por escrever. Especialista pela UFPI (2023) e Licenciada pela UFSM (2022), trabalha em projetos editoriais para o Ensino Fundamental, Ensino Médio e Pré-vestibular.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIZZO, Maria Luiza Alves. "Hipérbole (Geometria analítica): o que é, como fazer"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/hiperbole.htm. Acesso em 19 de julho de 2024.

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