Hipérbole

O que é uma hipérbole?

Definição: Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e seja 2c a distância entre eles, hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cuja diferença (em módulo) das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).

Elementos de uma Hipérbole:

F1 e F2 → são os focos da hipérbole
O → é o centro da hipérbole
2c → distância focal
2a → medida do eixo real ou transverso
2b → medida do eixo imaginário
c/a → excentricidade

Existe uma relação entre a, b e c → c² = a² + b²
 

Equação reduzida da hipérbole

1º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo x.

Fica claro que nesse caso os focos terão coordenadas F1 (-c , 0) e F2( c , 0).
Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo x será:


2º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo y.


Neste caso, os focos terão coordenadas F1 (0 , -c) e F2(0 , c).
Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo y será:


Exemplo 1. Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 6, focos F1(-5 , 0) e F2(5, 0).

Solução: Temos que
2a = 6 → a = 3
F1(-5, 0) e F2(5, 0) → c = 5

Da relação notável, obtemos:
c² = a² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² =25 – 9 → b² = 16 → b = 4

Assim, a equação reduzida será dada por:


Exemplo 2. Encontre a equação reduzida da hipérbole que possui dois focos com coordenadas F2 (0, 10) e eixo imaginário medindo 12.

Solução: Temos que
F2(0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6

Utilizando a relação notável, obtemos:
10² = a² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 – 36 → a² = 64 → a = 8.

Assim, a equação reduzida da hipérbole será dada por:


Exemplo 3. Determine a distância focal da hipérbole com equação

Solução: Como a equação da hipérbole é do tipo  temos que
a² = 16 e b² =9

Da relação notável obtemos
c² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5

A distância focal é dada por 2c. Assim,
2c = 2*5 =10
Portanto, a distância focal é 10.
 

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Equipe Brasil Escola

Geometria Analítica - Matemática - Brasil Escola