Geometria analítica é um campo da matemática em que é possível representar elementos geométricos, como pontos, retas, triângulos, quadriláteros e circunferências, utilizando expressões algébricas. As expressões algébricas são derivadas da ideia de união de pontos que seguem determinado padrão. Pontos esses que são dispostos em um sistema de coordenadas proposto por René Descartes.
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A geometria analítica tem como principal objetivo descrever objetos geométricos utilizando um sistema de coordenadas, o plano cartesiano. Este consiste em dois eixos reais perpendiculares entre si. O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas, e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas.
A distância entre os pontos A (xa, ya) e B (xb, yb) é definida pelo segmento de reta AB, que vamos denotar dAB. Veja como obter o tamanho desse segmento, ou seja, a distância.
Note que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo, logo, para determiná-la, vamos utilizar o teorema de Pitágoras.
Calcule a distância entre os pontos A (0, 0) e B (4, 2).
Substituindo os valores das coordenadas na fórmula, temos:
Para aprofundar-se ainda mais nesse conceito da geometria analítica, leia nosso texto: Distância entre dois pontos.
Na geometria plana, o ponto médio é o ponto que divide o segmento de reta AB ao meio, ou seja, em duas partes iguais. Na geometria analítica, as coordenadas do ponto médio são dadas por:
A coordenada do ponto médio, ou seja, do ponto M, é dada por:
Determine o ponto médio do segmento AB, sabendo que A (2, 1) e B (6, 5).
Substituindo os valores das coordenadas na fórmula, temos:
Considere três pontos — A (xa, ya), B (xb, yb) e C (xc, yc) — distintos no plano. Diremos que os pontos são colineares se o determinante abaixo for igual a zero. Podemos dizer também que eles são colineares se existir uma reta que os contenha.
Leia também: Equações com matrizes: como resolver?
Questão 1 – (PUC-SP) Os pontos A (3, 5), B (1, -1) e C (x, -16) pertencem a uma mesma reta. Determine o valor de x.
Solução
No enunciado foi dado que os pontos pertencem à mesma reta, ou seja, os pontos A, B e C são colineares. Logo, o determinante é igual a zero.
Por Robson Luiz
Professor de Matemática
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
LUIZ, Robson. "Geometria analítica"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/definicao-geometria-analitica.htm. Acesso em 20 de setembro de 2020.
Demonstre que o triângulo de vértices A(8 , 2), B(3 , 7) e C(2 , 1) é isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro.
Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c , 3), (2 , c) e (14, -3) sejam colineares?
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