Condição de concorrência de duas retas

Dado um ponto P qualquer de coordenadas (x0,y0) comum a duas retas r e s, dizemos que as retas são concorrentes em P. Dessa forma, as coordenadas do ponto P satisfazem a equação das retas r e s.
Dada as retas r: a₁x + b₁y + c₁ = 0 e s:a₂x + b₂y + c₂ = 0, elas serão concorrentes se satisfazerem a condição estabelecida pela seguinte matriz quadrada:  .

Dessa forma, duas retas serão concorrentes se a matriz formada por seus coeficientes a e b resultarem em um determinante diferente de zero.

Exemplo 1

Verifique se as retas r: 2x – y + 6 = 0 e s: 2x + 3y – 6 = 0 são concorrentes.
Resolução:

O determinante da matriz dos coeficientes das retas r e s resultou no número 8, que é diferente de zero. Portanto, as retas são concorrentes.

Determinando a coordenada do ponto de intersecção das retas

Para determinarmos a coordenada do ponto de intersecção das retas, basta organizarmos as equações das retas num sistema de equações, calculando os valores de x e y, utilizando o método resolutivo da substituição ou da adição.

Exemplo 2

Vamos determinar as coordenadas dos pontos de intersecção das retas r: 2x – y + 6 = 0 e s: 2x + 3y – 6 = 0.

Organizando as equações
r: 2x – y + 6 = 0 → 2x – y = –6
s: 2x + 3y – 6 = 0 → 2x + 3y = 6

Montando o sistema de equações:

Resolvendo o sistema pelo método da substituição

1º equação – isolar y

2x – y = –6
–y = – 6 – 2x (multiplicar por –1)
y = 6 + 2x

2º equação – substituir y por 6 + 2x
2x + 3y = 6
2x + 3(6 + 2x) = 6
2x + 18 + 6x = 6
2x + 6x = 6 – 18
8x = – 12
x = –12/8
x = – 3/2

Determinando o valor de y
y = 6 + 2x
y = 6 + 2*(–3/2)
y = 6 – 6/2
y = 6 – 3
y = 3

Portanto, as coordenadas do ponto de intersecção das retas r: 2x – y + 6 = 0 e s: 2x + 3y – 6 = 0 é x = –3/2 e y = 3.
 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática