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Distância entre ponto e reta

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A Geometria Analítica objetiva seus estudos através da conciliação entre a Álgebra e a Geometria. Dessa forma, algumas situações podem ser analisadas metodicamente, através da interpretação geométrica e das relações algébricas.
Uma dessas importantes relações da Geometria Analítica é a distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.

A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles.

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Estabelecendo a equação geral da reta s: ax + by + c = 0 e a coordenada do ponto P(x0,y0), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:

d = |ax0 + by0 + c|
      √(a2 + b2)

Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.


Exemplo

Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.

Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6
c: 2


 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Geometria Analítica - Matemática - Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Distância entre ponto e reta "; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-ponto-reta.htm. Acesso em 06 de julho de 2022.

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Exercício 1

Dado o ponto B com coordenadas (2, 6) e reta s: 2x + 4y – 1 = 0, determine a distância entre eles de acordo com os conceitos e fundamentos da Geometria Analítica.  

Exercício 2

Considerando que a distância entre ponto P(k, 4) e a reta r, de equação 6x + 8y – 80 = 0, é igual a 6 unidades, calcule o valor da coordenada k. 

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