Notificações
Você não tem notificações no momento.
Whatsapp icon Whatsapp
Copy icon

Retas perpendiculares

Retas perpendiculares são quando duas retas se cruzam, formando um ângulo reto entre elas, ou seja, um ângulo de 90º. Podemos estudar analiticamente as retas perpendiculares.

Retas perpendiculares
As retas perpendiculares formam um ângulo de 90º entre si.
Imprimir
Texto:
A+
A-
Ouça o texto abaixo!

PUBLICIDADE

Retas perpendiculares são aquelas que formam entre si um ângulo de 90º. Podemos representar duas retas perpendiculares no Plano Cartesiano.

Quando representamos a equação de duas retas, para saber se elas são perpendiculares, é necessário verificar se o coeficiente angular de uma delas é igual ao oposto do inverso da outra. Dessa forma, se \(m_1\) é o coeficiente angular de uma das retas, o coeficiente angular da outra será \(-\frac{1}{m_1}\); em duas retas perpendiculares, o produto dos seus coeficientes angulares é igual a \( -1\).

Leia também: Posições relativas entre reta e plano

Tópicos deste artigo

Resumo sobre retas perpendiculares

  • As retas perpendiculares formam um ângulo de 90º quando se cruzam.

  • Podemos representar duas retas perpendiculares no Plano Cartesiano.

  • Conhecendo a equação das retas \( r_1\) e \(r_2\), elas são perpendiculares se:

    • o produto dos seus coeficientes for igual \( -1\):

\(m_1\cdot m_2=-1\)

    • o coeficiente angular de uma for igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra:

\(m_1=-\frac{1}{m_1}\)

O que são retas perpendiculares?

Quando comparamos duas retas pertencentes ao mesmo plano, existe o que conhecemos como posições relativas entre duas retas. As retas perpendiculares são um desses casos.

Quando as retas se cruzam, elas são conhecidas como concorrentes, e quando elas se cruzam formando um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°, essas retas concorrentes são conhecidas também como perpendiculares, então podemos afirmar que:

Duas retas são perpendiculares quando o ângulo formado entre elas é de 90°.

Veja, a seguir, a representação de duas retas perpendiculares:

Retas perpendiculares r e s.
As retas r e s são perpendiculares.

Retas perpendiculares no Plano Cartesiano

Quando as retas são representadas no Plano Cartesiano, podemos realizar o estudo das retas perpendiculares de forma analítica. A geometria analítica busca descrever de forma algébrica os objetos da geometria.

Retas perpendiculares no Plano Cartesiano

Quando analisamos algebricamente a equação de duas retas perpendiculares, é possível desenvolver um método para verificar se elas são perpendiculares ou não.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Coeficiente angular de retas perpendiculares

Ao analisar-se o coeficiente angular de duas retas perpendiculares, percebe-se uma relação importante que acaba se tornando um método para verificar se duas retas são perpendiculares ou não.

Conhecendo a equação da reta, duas retas são perpendiculares se o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra. Conhecemos como oposto de um número o número com o sinal trocado, e como seu inverso, a fração que tem o numerador igual a 1 e o denominador igual a esse número.

Então, dadas a reta \(r_1\) com coeficiente angular \(m_1\) e a reta \(r_2\) com coeficiente angular \(m_2\), essas retas são perpendiculares se:

\(m_2=-\frac{1}{m_1}\)

Como saber se duas retas são perpendiculares entre si?

Dadas duas retas \(r_1\) e \(r_2\), com coeficiente angular \(m_1\) e \(m_2\)  respectivamente, para saber se elas são perpendiculares, basta verificar se:

\(m_2=-\frac{1}{m_1}\)

Podemos verificar também, utilizando o produto entre os coeficientes angulares, se as retas são perpendiculares se:

\(m_1\cdot m_2=-1\)

Exemplo:

As retas de equação \(r_1\): 2x + 3y + 4 = 0 e \(r_2\): -3x + 2y – 1 = 0 são perpendiculares?

Resolução:

Transformaremos a equação geral da reta na equação reduzida da reta para encontrarmos o coeficiente angular da reta:

\(3y=-2x-4\ \)

\(y=-\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}\)

Então encontramos o coeficiente angular da reta \(r_1\):

\(m_1=-\frac{2}{3}\)

Agora encontraremos \(m_2\):

\(2y=3x+1\ \)

\(y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\)

Então o coeficiente angular da reta \(r_2\) é:

\(m_2=\frac{3}{2}\)

Para verificar se as retas são perpendiculares, multiplicaremos os coeficientes angulares:

\(m_1\cdot m_2=-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=-1\)

Como o produto é igual a -1, então essas retas são perpendiculares.

  • Método prático

Para que não seja necessário encontrar a equação reduzida da reta, quando conhecemos a equação geral da reta, é possível verificar se as retas são perpendiculares ou não com base nos coeficientes a e b de cada uma das equações.

Conhecemos as duas equações:

\(r_1=a_1x+b_1y+c_1\)

\(r_2=a_2x+b_2y+c_2\)

Duas retas são perpendiculares se e somente se:

\(a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2=0\)

Exemplo:

Verifique se as retas \(r_1\) = x + 2y – 3 = 0 e \(r_2\) = -2x + y = são perpendiculares por meio do método prático.

Resolução:

Temos que: \(a_1=1\), \(b_1=2\), \(a_2=-2\) e \(b_2=1\)

Então, pelo método prático:

\(a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2=0\)

\(1\cdot\left(-2\right)+2\cdot1=0\)

\(-2+2=0\ \)

\(0=0\)

Desse modo, as retas são perpendiculares.

Leia também: Ponto de interseção entre duas retas

Exercícios resolvidos sobre retas perpendiculares

Questão 1

Duas retas concorrentes são consideradas perpendiculares quando:

A) não possuem nenhum ponto em comum.

B) possuem mais de um ponto em comum.

C) formam um ângulo reto entre elas.

D) possuem infinitos pontos em comum.

E) formam um ângulo de 180º entre elas.

Resolução:

Alternativa C

Duas retas são perpendiculares se elas formam um ângulo de 90°, ou seja, um ângulo reto.

Questão 2

A reta \( r_2\) é perpendicular à reta \( r_1\): \(x+2y-3=0\),  então o coeficiente angular da reta \(r_2\) é:

A) -1

B) 1

C) 2

D) -2

E) \(\frac{1}{2}\)

Resolução:

Alternativa C

Primeiro encontraremos o coeficiente angular da reta \(r_1\).

Isolando o y:

2y = -x + 3

\(y=\frac{-x}{2}+\frac{3}{2}\)

Então \(m_1=-\frac{1}{2}\)

Sabemos que:

\(m_1\cdot m_2=-1\)

\(-\frac{1}{2}m_2=-1\)

\(m_2=-1\cdot\left(-2\right)\)

\(m_2=2\)

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Raul Rodrigues de Oliveira Graduado em Matemática pela Universidade Federal de Goiás. Atua como professor do programa PIC Jr. (OBMEP) e como professor preceptor do programa Residência Pedagógica. Também é professor concursado da Seduc-GO, gestor escolar e produtor de conteúdo didático.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Retas perpendiculares"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/retas-perpendiculares.htm. Acesso em 06 de outubro de 2024.

De estudante para estudante


Lista de exercícios


Exercício 1

Duas retas são consideradas perpendiculares quando:

A) elas não possuem nenhum ponto em comum.

B) elas se interceptam formando um ângulo de 90°.

C) elas se interceptam possuindo dois pontos em comum.

D) elas pertencem ao mesmo plano.

Exercício 2

Considere uma reta cuja equação geral é r: \(2x+3y-4=0\). A reta perpendicular a ela, representada por s, que passa pelos pontos (1, 1) possui equação geral igual a:

A) 3y – 2x + 1 = 0

B) x – y + 1 = 0

C) – 3y + 2x – 1 = 0

D) 2y – 3x + 1 = 0

E) 2y + 3x – 1 = 0