Fundo Menu
Whatsapp icon Whatsapp
Copy icon

Produto interno entre dois vetores

O produto interno entre dois vetores é uma relação matemática entre o comprimento desses vetores e o ângulo entre eles.

Na Matemática, flechas representam vetores geometricamente
Na Matemática, flechas representam vetores geometricamente
Imprimir
Texto:
A+
A-

PUBLICIDADE

O produto interno entre dois vetores é um número real que relaciona o módulo desses vetores, isto é, seu comprimento, e o ângulo entre eles. Para calculá-lo, é necessário, portanto, conhecer seus comprimentos e o ângulo que eles formam.

Utilizando o plano como base, um vetor indica uma localização, uma intensidade, uma direção e um sentido. Por isso, é utilizado nos estudos da Mecânica (Física) como representante de uma força aplicada a um objeto.

A representação usual do vetor é uma flecha que finda em um ponto. Diz-se que as coordenadas desse ponto são as coordenadas do vetor que parte do ponto O (0,0). Escrevemos v = (a,b) para representá-lo. Dessa forma, o vetor v = (1,2) é desenhado da seguinte maneira:

Exemplo de vetor partindo da origem
Exemplo de vetor partindo da origem

Para calcular o comprimento desse vetor, considera-se o triângulo retângulo formado por ele e sua projeção no eixo x (ou no eixo y), conforme a figura a seguir:

Comprimento do vetor v
Comprimento do vetor v

O comprimento de um vetor v é chamado de norma do vetor v ou módulo do vetor v e é representado por |v|. Observe que a norma do vetor v = (a,b) é justamente a medida da hipotenusa do triângulo representado na figura acima. Para calcular essa medida, utilizamos o Teorema de Pitágoras:

|v|2 = a2 + b2

|v| = √(a2 + b2 )

Produto interno de dois vetores

Dados dois vetores u e v, o produto interno entre eles é representado por <u,v> e é definido como:

<u,v> = |u||v|·cosθ

Essa é uma espécie de multiplicação entre dois vetores, porém, não recebe o nome de produto por não ser uma multiplicação comum, uma vez que envolve o ângulo formado por esses dois vetores.

Ângulo entre dois vetores

O primeiro resultado decorrente da definição acima é o ângulo entre dois vetores. De posse dos números reais “produto interno”, “norma do vetor u” e “norma do vetor v”, é possível calcular o ângulo entre os vetores u e v. Para isso, basta realizar os cálculos:

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

<u,v> = |u||v|·cosθ

<u,v> = cosθ
|u||v|           

Portanto, dividindo o produto interno pelas normas dos vetores u e v, encontramos o número real referente ao cosseno entre esses dois vetores e, portanto, o ângulo entre eles.

Observe que, caso o ângulo entre dois vetores seja reto, o cosθ será igual a zero. Logo, o produto acima terá o seguinte resultado:

<u,v> = 0

A partir disso, pode-se concluir que, dados dois vetores u e v, eles serão ortogonais se <u,v> = 0.

Produto interno calculado a partir das coordenadas dos vetores

Considerando os dois vetores u = (a,b) e v = (c,d), o produto interno entre u e v é dado por:

<u,v> = <(a,b),(c,d)> = a·c + b·d

Propriedades do produto interno

Dados os vetores u, v e w e o número real α, observe:

i) <u,v> = <v,u>

Isso significa que o produto interno de vetores é “comutativo”.

ii) <u + v, w> = <u,w> + <v,w>

Essa propriedade é comparável à distributividade da multiplicação sobre a adição.

iii) <αu,v> = <u,αv> = α<u,v>

Calcular o produto interno entre u e v multiplicado pelo número real α é o mesmo que calcular o produto interno entre αv e u ou entre v e αu.

iv) <v,v> = 0 <=> v = 0

O produto interno de v com v só será zero se v for o vetor nulo.

v) <v,v> ≥ 0 para todo v.

O produto interno de v com v sempre será maior ou igual a zero.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Produto interno entre dois vetores"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm. Acesso em 09 de agosto de 2022.

De estudante para estudante


Qual a diferença entre regra de três simples e composta?

Por Brasil Escola
Responder
Ver respostas

Como transformar fração em porcentagem?

Por Brasil Escola
Responder
Ver respostas

PUBLICIDADE

Estude agora


Tempos derivados do presente do indicativo

São derivados do tempo presente do indicativo o pretérito perfeito do indicativo, o presente do subjuntivo e o...

O que é Estado Democrático de Direito?

Nesta aula aprenderemos que o Estado Democrático de Direito é uma forma de Estado em que a soberania popular é...