Equação reduzida da circunferência

Matemática

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Equação reduzida da circunferência possui diversas aplicações no nosso dia a dia, como em radares e na detecção de tsunamis. A circunferência possui dois elementos: o centro e o raio, que é a distância do centro até a extremidade da circunferência.

Assim como a reta, é possível determinar a equação de uma circunferência conhecendo as coordenadas do centro e a medida de seu raio. Existe mais de uma forma de representarmos uma circunferência algebricamente, não obstante, daremos ênfase à equação reduzida da circunferência.

Leia mais: Elementos da circunferência: saiba quais são

Como determinar a equação reduzida da circunferência?

A circunferência é constituída pelo conjunto de todos os pontos igualmente distantes de um ponto fixo desse plano.
A circunferência é constituída pelo conjunto de todos os pontos igualmente distantes de um ponto fixo desse plano.

Uma circunferência é o conjunto de pontos do plano cartesiano que são equidistantes de um ponto dado, ou seja, do centro da circunferência. A essa distância vamos dar o nome de raio, ou seja, vamos “colecionar” pontos da forma P (x, y) que possuem a mesma distância do centro.

Considere uma circunferência de centro C (a, b) e de raio r:

Estamos interessados nos pontos que satisfazem a condição da distância entre C e P ser igual ao raio, ou seja:

dPQ = r

Da distância entre dois pontos, temos:

Assim, a equação reduzida da circunferência que possui centro C (a, b) e raio r é dada por:

Exemplos

  • A equação (x – 3)2 + (y – 4)2 = 169 representa uma circunferência de centro C (3, 4) e raio r2 = 169, ou seja r = 13.
  • A equação x2 + y2 = 0 representa uma circunferência centrada na origem do sistema de coordenadas e raio 0.
  • A equação (x + 4)2 + (y – 4)2 = 169 também representa uma circunferência de centro C (-4, 4) e raio 13.

Veja também: Como encontrar o centro de uma circunferência?

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Exercícios resolvidos

Questão 1 – (PUC-RS) De acordo com a regra 2 da Fifa, a bola oficial de futebol deve ter sua maior circunferência medindo de 68 cm a 70 cm. Considerando a circunferência com 70 cm e usando um referencial cartesiano para representá-la, como no desenho a seguir, poderíamos dizer que sua equação é:

Solução:

Sabemos que o comprimento da circunferência é dado por:

Como a circunferência possui o centro na origem do sistema de coordenadas, a coordenada do centro é C (0, 0). Agora, substituindo as informações na fórmula da equação da circunferência, teremos:

 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

  

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

LUIZ, Robson. "Equação reduzida da circunferência"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-reduzida-circunferencia.htm. Acesso em 13 de agosto de 2020.