Equação reduzida da circunferência

Equação reduzida da circunferência possui diversas aplicações no nosso dia a dia, como em radares e na detecção de tsunamis. A circunferência possui dois elementos: o centro e o raio, que é a distância do centro até a extremidade da circunferência.

Assim como a reta, é possível determinar a equação de uma circunferência conhecendo as coordenadas do centro e a medida de seu raio. Existe mais de uma forma de representarmos uma circunferência algebricamente, não obstante, daremos ênfase à equação reduzida da circunferência.

Leia mais: Elementos da circunferência: saiba quais são

Como determinar a equação reduzida da circunferência?

Uma circunferência é o conjunto de pontos do plano cartesiano que são equidistantes de um ponto dado, ou seja, do centro da circunferência. A essa distância vamos dar o nome de raio, ou seja, vamos “colecionar” pontos da forma P (x, y) que possuem a mesma distância do centro.

Considere uma circunferência de centro C (a, b) e de raio r:

Estamos interessados nos pontos que satisfazem a condição da distância entre C e P ser igual ao raio, ou seja:

d_PQ = r

Da distância entre dois pontos, temos:

Assim, a equação reduzida da circunferência que possui centro C (a, b) e raio r é dada por:

Exemplos

• A equação (x – 3)² + (y – 4)² = 169 representa uma circunferência de centro C (3, 4) e raio r² = 169, ou seja r = 13.
• A equação x² + y² = 0 representa uma circunferência centrada na origem do sistema de coordenadas e raio 0.
• A equação (x + 4)² + (y – 4)² = 169 também representa uma circunferência de centro C (-4, 4) e raio 13.

Veja também: Como encontrar o centro de uma circunferência?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (PUC-RS) De acordo com a regra 2 da Fifa, a bola oficial de futebol deve ter sua maior circunferência medindo de 68 cm a 70 cm. Considerando a circunferência com 70 cm e usando um referencial cartesiano para representá-la, como no desenho a seguir, poderíamos dizer que sua equação é:

Solução:

Sabemos que o comprimento da circunferência é dado por:

Como a circunferência possui o centro na origem do sistema de coordenadas, a coordenada do centro é C (0, 0). Agora, substituindo as informações na fórmula da equação da circunferência, teremos:

Por Robson Luiz
Professor de Matemática