Tangência à circunferência

No estudo sobre as circunferências, um conceito importante a ser estudo é o das retas tangentes a uma circunferência. Para realizarmos esse estudo, é necessário compreender as posições relativas de um ponto em relação a uma circunferência. Caso você não tenha estudado algo relacionado a esse tema, confira o artigo Posições relativas entre um ponto e uma circunferência.

Observando a posição de um ponto em relação a uma circunferência, podemos concluir alguns fatos relacionados às retas tangentes. Sabe-se que existem três posições relativas de um ponto a uma circunferência. Para cada posição desta, podemos concluir algo sobre a reta tangente que passa por esse ponto.

• Ponto interno à circunferência: não é possível traçar uma reta tangente por esse ponto.

• Ponto pertencente à circunferência: por esse ponto podemos ter apenas uma reta tangente, pois ele é o ponto de tangência.

• Ponto externo à circunferência: por esse ponto podemos traçar duas retas tangentes à circunferência.

Portanto, para determinar a equação da reta tangente a uma circunferência por um determinado ponto, precisamos necessariamente determinar a posição relativa desse ponto. Posição esta que depende da distância do ponto ao centro da circunferência.

Devemos relembrar alguns fatos importantes acerca da geometria analítica:

• A menor distância de um ponto a uma reta é um segmento perpendicular a esta reta;

• A reta tangente sempre será perpendicular ao raio no seu ponto de tangência.

Relacionando os dois fatos anteriores, pode-se afirmar que a distância da reta tangente ao centro deverá ser igual ao raio.

Portanto, para determinar a equação da reta tangente, devemos analisar a posição do ponto que traçaremos à reta e com isso calcular a distância da reta que contém esse ponto em relação ao centro da circunferência.
 

Para a melhor compreensão de todos esses conceitos, trabalharemos com exemplos que necessitam dessas reflexões.
 

1) Determine a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) à circunferência dada, traçada pelo ponto P.
     a) eq. circunferência: x²+ y² - 6x - 8y = 0    P (0,0)

Com isso, podemos extrair as informações necessárias para o nosso problema:
C(3,4), r=5.

Devemos agora encontrar a posição relativa do ponto P (0,0):

Portanto, o ponto P é o ponto de tangência.

Vamos determinar a equação da reta que passa pelo ponto P.

Para determinarmos de fato a equação da reta, nos falta descobrir qual é o coeficiente angular dessa reta. Um dos fatos que vimos no início desse artigo foi quanto à perpendicularidade da reta tangente ao raio da circunferência. O ponto P é um ponto de tangência, então o coeficiente angular da reta que passa pelo ponto P e o centro deverá ser perpendicular à reta tangente. Para isso, temos uma relação entre coeficientes angulares perpendiculares.

Em outras palavras, o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares é igual a -1.

Para determinar o coeficiente angular do segmento PC, devemos utilizar a seguinte expressão:

Com isso, obtemos a equação da reta tangente:

Uma outra forma para determinar o valor de m seria calculando a distância do centro à reta. Essa distância é igual ao raio. Vejamos:

Quando o ponto for externo à circunferência, deveremos encontrar o ponto de tangência utilizando a distância do centro da circunferência até a reta tangente, pois, assim, iremos determinar o valor do coeficiente angular da reta tangente, que, por sua vez, determinará a equação da reta tangente.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola