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O cálculo do coeficiente angular de uma reta é feito, principalmente, a partir das coordenadas de dois pontos. Dados dois pontos de uma reta, o coeficiente angular é a razão entre a diferença de coordenadas no eixo das ordenadas e a diferença de coordenadas no eixo das abscissas.
O coeficiente angular de uma reta é um número que indica a inclinação de uma reta em relação à horizontal e influencia no comportamento da reta para valores crescentes de x. Dada a equação reduzida de uma reta, o coeficiente angular é o número que multiplica a variável x. Também é possível determinar o coeficiente angular de outras duas maneiras: a partir do ângulo entre a reta e o eixo horizontal ou a partir das coordenadas de dois pontos da reta.
Leia também: Qual é a equação geral de uma reta?
Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre o cálculo do coeficiente angular
- 2 - O que é coeficiente angular?
- 3 - Fórmulas do coeficiente angular de uma reta
- 4 - Como calcular o coeficiente angular de uma reta?
- 5 - Diferenças entre coeficiente angular e coeficiente linear
- 6 - Exercícios sobre coeficiente angular
Resumo sobre o cálculo do coeficiente angular
- O coeficiente angular de uma reta é um número que indica a inclinação de uma reta em relação à horizontal e influencia no comportamento da reta para valores crescentes de x.
- Na reta de equação y = mx +n , m ≠ 0, os números m e n são, respectivamente, os coeficientes angular e linear.
- Se A=(x1,y1)e B=(x2,y2) são pontos de uma reta, seu coeficiente angular m pode ser calculado pela expressão:
m=y2−y1x2−x1
- Se θ é o ângulo entre a reta e a horizontal, o coeficiente angular m pode ser calculado pela expressão:
m=tg θ
- Enquanto o coeficiente angular indica a inclinação da reta, o coeficiente linear expressa a coordenada vertical em que a reta cruza o eixo y.
O que é coeficiente angular?
O coeficiente angular é um número que está relacionado ao ângulo formado entre a reta e a horizontal, descreve a inclinação da reta e pode ser determinado pela equação reduzida. Considere a reta de equação y = mx + n, m ≠ 0, em que m e n são números (constantes) reais. A constante m é o coeficiente angular dessa reta e a constante n é o coeficiente linear. Uma característica importante do coeficiente angular é que ele determina se a reta é crescente ou decrescente: se m > 0, a reta é crescente, e, se m < 0, a reta é decrescente.
E como podemos calcular o coeficiente angular de uma reta sem conhecer sua equação? É o que veremos adiante.
Fórmulas do coeficiente angular de uma reta
→ Fórmula para calcular o coeficiente angular a partir de dois pontos da reta
Dados os pontos A=(x1,y1)e B=(x2,y2) de uma reta, tem-se que o coeficiente angular m é dado pela razão entre a diferença das coordenadas no eixo y(y2−y1)e a diferença das coordenadas no eixo x(x2−x1):
m=y2−y1x2−x1
![Imagem mostrando como fazer o cálculo do coeficiente angular a partir dos pontos A e B da reta.](https://s1.static.brasilescola.uol.com.br/be/2023/08/calculo-coeficiente-angular-pontos-reta.jpg)
→ Fórmula para calcular o coeficiente angular a partir do ângulo θ entre a reta e a horizontal
Seja θ o ângulo entre a reta e a horizontal, assim, o coeficiente angular m da reta é a tangente de θ:
m=tg θ
Observação 1: Note que as duas formas de calcular estão relacionadas. Traçando uma reta horizontal (paralela ao eixo x) pelo ponto (x1,y1), temos um triângulo retângulo cujos catetos medem x2−x1e y2−y1 e a hipotenusa é o segmento AB. O ângulo entre o cateto horizontal e a hipotenusa é θ, portanto, sua tangente é a razão entre y2−y1 (medida do cateto oposto) e x2−x1 (medida do cateto adjacente). Dessa forma, temos:
m=y2−y1x2−x1=tg θ
Observação 2: Existe uma relação entre os coeficientes lineares de duas retas paralelas e entre os coeficientes lineares de duas retas perpendiculares.
- Se duas retas r e s são retas paralelas, o coeficiente angular de r (mr) é igual ao coeficiente linear de s (ms).
mr=ms
- Se duas retas r e s são perpendiculares, o coeficiente angular de r (mr) é igual ao oposto do inverso multiplicativo do coeficiente linear de s (ms).
mr=−1ms
Como calcular o coeficiente angular de uma reta?
Se a equação da reta for conhecida, basta identificar a constante que multiplica a variável x para obter o coeficiente angular. Do contrário, devemos utilizar as fórmulas estudadas no tópico anterior (m=y2−y1x2−x1em=tg θ).
- Exemplo 1
Qual o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A = (11, 2) e B = (13, 3)?
Resolução:
Considerando as coordenadas de A como x1 e y1 e as coordenadas de B como x2 e y2 e aplicando a fórmula, temos que:
m=y2−y1x2−x1=3−213−11=12=0,5
- Exemplo 2
Qual o coeficiente angular da reta que forma um ângulo de 135° com o eixo x?
Resolução:
Como θ = 135°, temos que:
m=tg θ=tg 135°=−tg45°=−1
Diferenças entre coeficiente angular e coeficiente linear
Em uma reta y = mx + n, a constante m é o coeficiente angular e a constante n é o coeficiente linear. Enquanto o coeficiente angular indica a inclinação da reta, o coeficiente linear expressa a coordenada vertical em que a reta cruza o eixo y. Note que para x = 0 temos n = y. Assim, (0, n) é o ponto em que a reta y = mx + n intercepta o eixo y.
- Exemplo:
Na reta y = 3x -2, o coeficiente angular é 3 e o coeficiente linear é -2. O gráfico dessa reta cruza o eixo y no ponto 0,-2.
Acesse também: Qual é a equação paramétrica de uma reta?
Exercícios sobre coeficiente angular
Questão 1
Qual o coeficiente angular da reta com equação y=x+22?
A) 0,5
B) 1
C) 1,5
D) 2
E) 2,5
Resolução:
Alternativa A
Observe que podemos escrever:
y=x+22=x2+22=12x+1=0,5x+1
Portanto, o coeficiente angular dessa reta é 0,5.
Questão 2
O ângulo entre as retas s e t é 90° e o coeficiente angular de s é – 4. O coeficiente angular de t é igual a
A) 0,05.
B) 0,25.
C) 0,55.
D) 0,75.
E) 0,95.
Resolução:
Alternativa B
Como as retas s e t são perpendiculares, temos que:
mt=−1ms=−1−4=14=0,25
Fontes
BOULOS, P.; CAMARGO; I. de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3 ed. São Paulo: Pearson, 2006.
LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Impa, 2014.