Hexágono é todo polígono que possui seis lados. É possível observar sua presença em situações cotidianas e na natureza, como, por exemplo, nos favos de mel.
Hexágono é o polígono que possui 6 lados. Ele é regular quando possui todos os lados e ângulos internos congruentes entre si. É irregular quando não possui essas características. O primeiro caso é o mais amplamente estudado, pois quando o hexágono é regular, ele possui propriedades específicas e fórmulas que nos permitem calcular sua área, perímetro e apótema.
Ele é regular quando possui todos os lados congruentes.
É irregular quando não possui todos os lados congruentes.
Em um hexágono regular, cada ângulo interno mede 120°.
A soma dos ângulos externos de um hexágono regular é sempre 360°.
Para calcular a área de um hexágono regular, utilizamos a fórmula:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
O perímetro de um hexágono é a soma dos seus lados. Quando ele é regular, temos:
P = 6L
O apótema de um hexágono regular é calculado pela fórmula:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
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O que é hexágono?
Hexágono é qualquer polígono que possui 6 lados, consequentemente 6 vértices e 6 ângulos. Como se trata de um polígono, ele é uma figura plana fechada com lados que não se cruzam. O hexágono é uma forma recorrente na natureza, como nos favos de mel, em estruturas da química orgânica, nos cascos de certas tartarugas e em flocos de neve.
Videoaula sobre polígonos
Elementos do hexágono
Um hexágono é composto por 6 lados, 6 vértices e 6 ângulos internos.
Elementos do hexágono
Vértices: os pontos A, B, C, D, E, F.
Lados: os segmentos \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Ângulos internos: os ângulos a, b, c, d, f.
Classificação dos hexágonos
Os hexágonos, assim como os demais polígonos, podem ser classificados de duas formas.
Hexágono regular
O hexágono é regular quando ele possui todos os seus lados congruentes — consequentemente, seus ângulos também serão congruentes. O hexágono regular é o mais importante dentre todos, sendo o mais amplamente estudando. É possível calcular vários de seus aspectos, como a área, com fórmulas específicas.
Hexágono regular.
Observação: O hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros, isto é, triângulos com todos os lados iguais.
Hexágono regular dividido em triângulos equiláteros.
→ Hexágono irregular
Hexágono irregular é aquele que possui lados com medidas diferentes. Ele pode ser convexo ou não convexo.
Hexágono irregular convexo
O hexágono é convexo quando possui todos os ângulos internos menores que 180°.
Hexágonos irregulares convexos.
→ Hexágono irregular não convexo
O hexágono é não convexo quando possui ângulos internos maiores que 180°.
Hexágonos irregulares e não convexos.
Propriedades do hexágono
→ Número de diagonais de um hexágono
A primeira propriedade importante é que em um hexágono convexo, há sempre 9 diagonais. Podemos encontrar essas 9 diagonais geometricamente:
Diagonais de um hexágono.
Também podemos encontrar as diagonais algebricamente, por meio da seguinte fórmula:
\(d=\frac{n\left(n-3\right)}{2}\)
Se substituirmos 6 na equação, temos que:
\(d=\frac{6\cdot\left(6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Então, um hexágono convexo sempre terá 9 diagonais.
Em um hexágono, a soma dos seus ângulos internos é igual a 720°. Para realizar essa soma, basta substituir 6 na fórmula:
\(S_i=180\left(n-2\right)\)
\(S_i=180\left(6-2\right)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
Em um hexágono regular, os ângulos internos sempre medirão 120° cada, pois
720° : 6 = 120°
Os ângulos internos de um hexágono regular medem 120° cada.
→ Ângulos externos de um hexágono regular
Quanto aos ângulos externos, sabemos que a soma deles é sempre igual a 360°. Como há 6 ângulos externos, cada um deles medirá 60°, pois
360° : 6 = 60°
Ângulo externo de um hexágono regular.
→ Apótema do hexágono regular
Considera-se apótema de um polígono regular osegmento de reta que liga o centro do polígono até o ponto médio do seu lado. Como sabemos, o hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros, portanto, o apótema corresponde à altura de um desses triângulos equiláteros. O valor desse segmento pode ser calculado pela fórmula:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ Perímetro do hexágono
Para calcular o perímetro de um hexágono, basta realizar a soma dos seus 6 lados. Quando o hexágono é regular, seus lados são congruentes, logo, é possível calcular o perímetro do hexágono por meio da fórmula:
P = 6L
→ Área do hexágono regular
Como sabemos que o hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros de lado medindo L, é possível deduzir uma fórmula para o cálculo de sua área, utilizando o cálculo da área de um triângulo equilátero multiplicada por 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Note que é possível fazer a simplificação dividindo por 2, gerando, então, a fórmula para o cálculo da área do hexágono:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Hexágono inscrito em uma circunferência
Dizemos que um polígono está inscrito em uma circunferência quando ele está dentro da circunferência, e os seus vértices são pontos desta. Podemos representar o hexágono regular inscrito em uma circunferência. Quando fazemos essa representação, é possível verificar que o comprimento do raio da circunferência é igual ao comprimento do lado do hexágono.
Dizemos que um polígono está circunscrito a uma circunferência quando a circunferência está dentro desse polígono. Podemos representar o hexágono regular circunscrito. Nesse caso, a circunferência é tangente ao ponto médio de cada um dos lados do hexágono, o que faz com que o raio da circunferência seja igual ao apótema do hexágono.
Prisma de base hexagonal
A Geometria Plana é a base para os estudos da Geometria Espacial. O hexágono pode estar presente na base de sólidos geométricos, como nos prismas.
Para descobrir o volume de um prisma, calculamos o produto entre a área da base e a altura. Como a sua base é um hexágono, seu volume pode ser calculado por:
Além do prisma de base hexagonal, existem também as pirâmides de base hexagonal.
Para descobrir o volume de uma pirâmide de base hexagonal, calculamos o produto entre a área da base, a altura e dividimos por 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h:3\)
Note que multiplicamos e dividimos por três, o que possibilita uma simplificação. Então, o volume de uma pirâmide de base hexagonal é calculado pela fórmula:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Exercícios resolvidos sobre hexágono
Questão 1
Um terreno possui formato de um hexágono regular. Deseja-se cercar essa área com arame farpado, de maneira que o arame dê 3 voltas em torno do território. Sabendo que foram gastos, ao todo, 810 metros de arame para cercar todo o terreno, a área desse hexágono mede, aproximadamente:
(Use \(\sqrt3=1,7\))
A) 5102 m²
B) 5164 m²
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Resolução:
Alternativa B
O perímetro do hexágono regular é
\(P=6L\)
Como foram dadas 3 voltas, para dar uma só volta foi gasto o total de 270 metros, pois sabemos que:
810 : 3 = 270
Então, temos:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ metros\)
Conhecendo a medida do lado, calcularemos a área:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012,5\sqrt3\)
\(A=3037,5\sqrt3\)
\(A=3037,5\cdot1,7\)
\(A=5163,75m^2\)
Arredondando, obtemos:
\(A\approx5164m^2\)
Questão 2
(PUC - RS) Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal regular. A distância entre os lados paralelos é de 1 cm, conforme a figura abaixo. O lado desse hexágono mede ______ cm.
A) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
C) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Resolução:
Alternativa B
Em relação ao hexágono regular, sabemos que seu apótema é a medida do centro até o ponto médio de um dos lados. Assim, o apótema é a metade da distância indicada na imagem. Logo, temos que:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
O apótema é, então, igual a \(\frac{1}{2}\). Existe uma relação entre os lados do hexágono e o apótema, pois em um hexágono regular, temos:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Como conhecemos o valor do apótema, podemos substituir \(a=\frac{1}{2}\) na equação:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Racionalizando a fração:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de.
"Hexágono"; Brasil Escola.
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/hexagono.htm. Acesso em 21 de maio
de 2022.
Dados os conjuntos a = 1, 2, 3 ,5, 12 B = 2,7,8 ,11 e C = 2,4,5,8,9 então (A u C) a interseção de B é igual a.
a) {1,2,8} b) {1,3,12 c) {4,8,9} d) {7,8,11}
quando vamos pegar um táxi,ao entrar no táxi o taxista aciona o taxímetro que marca o preço em R$ por KM Rodados, alem disso temba taxa inicial que é chamada de bandeira que seria uma taxa já inclusa na corrida.Assim ,Temos a Função F(x)=x + (valor inicial).Sendo X=(KM) rodados e Y=(R$).Consideramos o valor inicial como R$ 5,00 e R$ 3,00 por KM rodados,assim temos F(x)=3.x+5
