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Hexágono

Hexágono é todo polígono que possui seis lados. É possível observar sua presença em situações cotidianas e na natureza, como, por exemplo, nos favos de mel.

O hexágono é um polígono de 6 lados.
O hexágono é um polígono de 6 lados.
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Hexágono é o polígono que possui 6 lados. Ele é regular quando possui todos os lados e ângulos internos congruentes entre si. É irregular quando não possui essas características. O primeiro caso é o mais amplamente estudado, pois quando o hexágono é regular, ele possui propriedades específicas e fórmulas que nos permitem calcular sua área, perímetro e apótema.

Leia também: O que é um losango?

Tópicos deste artigo

Resumo sobre hexágono

  • O hexágono é um polígono de 6 lados.

  • Ele é regular quando possui todos os lados congruentes.

  • É irregular quando não possui todos os lados congruentes.

  • Em um hexágono regular, cada ângulo interno mede 120°.

  • A soma dos ângulos externos de um hexágono regular é sempre 360°.

  • Para calcular a área de um hexágono regular, utilizamos a fórmula:

\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)

  • O perímetro de um hexágono é a soma dos seus lados. Quando ele é regular, temos:

P = 6L

  • O apótema de um hexágono regular é calculado pela fórmula:

\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)

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O que é hexágono?

Hexágono é qualquer polígono que possui 6 lados, consequentemente 6 vértices e 6 ângulos. Como se trata de um polígono, ele é uma figura plana fechada com lados que não se cruzam. O hexágono é uma forma recorrente na natureza, como nos favos de mel, em estruturas da química orgânica, nos cascos de certas tartarugas e em flocos de neve.

  • Videoaula sobre polígonos

Elementos do hexágono

Um hexágono é composto por 6 lados, 6 vértices e 6 ângulos internos.

Hexágono com ângulos em roxo-escuro.
Elementos do hexágono
  • Vértices: os pontos A, B, C, D, E, F.

  • Lados: os segmentos \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).

  • Ângulos internos: os ângulos a, b, c, d, f.

Classificação dos hexágonos

Os hexágonos, assim como os demais polígonos, podem ser classificados de duas formas.

  • Hexágono regular

O hexágono é regular quando ele possui todos os seus lados congruentes — consequentemente, seus ângulos também serão congruentes. O hexágono regular é o mais importante dentre todos, sendo o mais amplamente estudando. É possível calcular vários de seus aspectos, como a área, com fórmulas específicas.

Hexágono regular lilás.
 Hexágono regular.

Observação: O hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros, isto é, triângulos com todos os lados iguais.

Hexágono regular dividido em triângulos equiláteros.
Hexágono regular dividido em triângulos equiláteros.

Hexágono irregular

Hexágono irregular é aquele que possui lados com medidas diferentes. Ele pode ser convexo ou não convexo.

  • Hexágono irregular convexo

O hexágono é convexo quando possui todos os ângulos internos menores que 180°.

Dois hexágonos irregulares convexos.
Hexágonos irregulares convexos.

Hexágono irregular não convexo

O hexágono é não convexo quando possui ângulos internos maiores que 180°.

 Dois hexágonos irregulares não convexos.
 Hexágonos irregulares e não convexos.

Propriedades do hexágono

Número de diagonais de um hexágono

A primeira propriedade importante é que em um hexágono convexo, há sempre 9 diagonais. Podemos encontrar essas 9 diagonais geometricamente:

Hexágono com diagonais traçadas em azul.
 Diagonais de um hexágono.

Também podemos encontrar as diagonais algebricamente, por meio da seguinte fórmula:

\(d=\frac{n\left(n-3\right)}{2}\)

Se substituirmos 6 na equação, temos que:

\(d=\frac{6\cdot\left(6-3\right)}{2}\)

\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)

\(d=\frac{18}{2}\)

\(d=9\)

Então, um hexágono convexo sempre terá 9 diagonais.

Saiba mais: Diagonal do bloco retangular — segmento que liga dois de seus vértices que não estão na mesma face

Ângulos internos de um hexágono

Em um hexágono, a soma dos seus ângulos internos é igual a 720°. Para realizar essa soma, basta substituir 6 na fórmula:

\(S_i=180\left(n-2\right)\)

\(S_i=180\left(6-2\right)\)

\(S_i=180\cdot4\)

\(S_i=720\)

Em um hexágono regular, os ângulos internos sempre medirão 120° cada, pois

720° : 6 = 120°

Hexágono regular com indicação dos valores dos ângulos.
Os ângulos internos de um hexágono regular medem 120° cada.

Ângulos externos de um hexágono regular

Quanto aos ângulos externos, sabemos que a soma deles é sempre igual a 360°. Como há 6 ângulos externos, cada um deles medirá 60°, pois

360° : 6 = 60°

Hexágono com indicação de um de seus ângulos externos.
Ângulo externo de um hexágono regular.

Apótema do hexágono regular

Considera-se apótema de um polígono regular o segmento de reta que liga o centro do polígono até o ponto médio do seu lado. Como sabemos, o hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros, portanto, o apótema corresponde à altura de um desses triângulos equiláteros. O valor desse segmento pode ser calculado pela fórmula:

\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)

Hexágono regular com o apótema traçado em roxo.

Perímetro do hexágono

Para calcular o perímetro de um hexágono, basta realizar a soma dos seus 6 lados. Quando o hexágono é regular, seus lados são congruentes, logo, é possível calcular o perímetro do hexágono por meio da fórmula:

P = 6L

Hexágono regular com lados L.

Área do hexágono regular

Como sabemos que o hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros de lado medindo L, é possível deduzir uma fórmula para o cálculo de sua área, utilizando o cálculo da área de um triângulo equilátero multiplicada por 6.

\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)

Note que é possível fazer a simplificação dividindo por 2, gerando, então, a fórmula para o cálculo da área do hexágono:

\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)

Hexágono inscrito em uma circunferência

Hexágono inscrito em uma circunferência.

Dizemos que um polígono está inscrito em uma circunferência quando ele está dentro da circunferência, e os seus vértices são pontos desta. Podemos representar o hexágono regular inscrito em uma circunferência. Quando fazemos essa representação, é possível verificar que o comprimento do raio da circunferência é igual ao comprimento do lado do hexágono.

Saiba também: Círculo e circunferência — qual a diferença?

Hexágono circunscrito em uma circunferência

Dizemos que um polígono está circunscrito a uma circunferência quando a circunferência está dentro desse polígono. Podemos representar o hexágono regular circunscrito. Nesse caso, a circunferência é tangente ao ponto médio de cada um dos lados do hexágono, o que faz com que o raio da circunferência seja igual ao apótema do hexágono.          

Hexágono circunscrito a uma circunferência.

Prisma de base hexagonal

A  Geometria Plana é a base para os estudos da Geometria Espacial. O hexágono pode estar presente na base de sólidos geométricos, como nos prismas.

Prisma azul com base hexagonal.

Para descobrir o volume de um prisma, calculamos o produto entre a área da base e a altura. Como a sua base é um hexágono, seu volume pode ser calculado por:

\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)

Leia também: Volume dos sólidos geométricos — como calcular?

Pirâmide de base hexagonal

Além do prisma de base hexagonal, existem também as pirâmides de base hexagonal.

Pirâmide azul com base hexagonal.

Para descobrir o volume de uma pirâmide de base hexagonal, calculamos o produto entre a área da base, a altura e dividimos por 3.

\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h:3\)

Note que multiplicamos e dividimos por três, o que possibilita uma simplificação. Então, o volume de uma pirâmide de base hexagonal é calculado pela fórmula:

\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)

Exercícios resolvidos sobre hexágono

Questão 1

Um terreno possui formato de um hexágono regular. Deseja-se cercar essa área com arame farpado, de maneira que o arame dê 3 voltas em torno do território. Sabendo que foram gastos, ao todo, 810 metros de arame para cercar todo o terreno, a área desse hexágono mede, aproximadamente:

(Use \(\sqrt3=1,7\))

A) 5102 m²

B) 5164 m²

C) 5200 m²

D) 5225 m²

E) 6329 m²

Resolução:

Alternativa B

O perímetro do hexágono regular é 

\(P=6L\)

Como foram dadas 3 voltas, para dar uma só volta foi gasto o total de 270 metros, pois sabemos que:

810 : 3 = 270

Então, temos:

\(6L=270\)

\(L=\frac{270}{6}\)

\(L=45\ metros\)

Conhecendo a medida do lado, calcularemos a área:

\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)

\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)

\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)

\(A=3\cdot1012,5\sqrt3\)

\(A=3037,5\sqrt3\)

\(A=3037,5\cdot1,7\)

\(A=5163,75m^2\)

Arredondando, obtemos:

\(A\approx5164m^2\)

Questão 2

(PUC - RS) Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal regular. A distância entre os lados paralelos é de 1 cm, conforme a figura abaixo. O lado desse hexágono mede ______ cm.

Ilustração de uma peça de engrenagem mecânica com formato hexagonal.

A) \(\frac{1}{2}\)

B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)

C) \(\sqrt3\)

D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)

E) 1

Resolução:

Alternativa  B

Em relação ao hexágono regular, sabemos que seu apótema é a medida do centro até o ponto médio de um dos lados. Assim, o apótema é a metade da distância indicada na imagem. Logo, temos que:

\(2a=1cm\)

\(a=\frac{1}{2}\)

O apótema é, então, igual a \(\frac{1}{2}\). Existe uma relação entre os lados do hexágono e o apótema, pois em um hexágono regular, temos:

\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)

Como conhecemos o valor do apótema, podemos substituir \(a=\frac{1}{2}\) na equação:

\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)

\(1=L\sqrt3\)

\(L\sqrt3=1\)

\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)

Racionalizando a fração:

\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)

\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Hexágono"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/hexagono.htm. Acesso em 21 de maio de 2022.

De estudante para estudante


Dados os conjuntos a = 1, 2, 3 ,5, 12  B = 2,7,8 ,11 e C = 2,4,5,8,9 então (A u C)  a interseção de B é igual a.
a) {1,2,8} b) {1,3,12 c) {4,8,9} d) {7,8,11}

Por elenilson Silva
Responder
Ver respostas

quando vamos pegar um táxi,ao entrar no táxi o taxista aciona o taxímetro que marca o preço em R$ por KM Rodados, alem disso temba taxa inicial que é chamada de bandeira que seria uma taxa já inclusa na corrida.Assim ,Temos a Função F(x)=x + (valor inicial).Sendo X=(KM) rodados e Y=(R$).Consideramos o valor inicial como R$ 5,00 e R$ 3,00 por KM rodados,assim temos F(x)=3.x+5

Por ghgh wwt
Responder
Ver respostas

Lista de exercícios


Exercício 1

Analise o polígono a seguir:

Polígono com seis lados

Esse polígono pode ser classificado como:

A) quadrilátero

B) pentágono

C) hexágono

D) heptágono

E) decágono

Exercício 2

Qual é o número de diagonais de um hexágono?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

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