Hexágono

Hexágono é o polígono que possui 6 lados. Ele é regular quando possui todos os lados e ângulos internos congruentes entre si. É irregular quando não possui essas características. O primeiro caso é o mais amplamente estudado, pois quando o hexágono é regular, ele possui propriedades específicas e fórmulas que nos permitem calcular sua área, perímetro e apótema.

Leia também: O que é um losango?

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre hexágono
• 2 - O que é hexágono?
  • Videoaula sobre polígonos
• 3 - Elementos do hexágono
• 4 - Classificação dos hexágonos
  • Hexágono regular
  • → Hexágono irregular
  • → Hexágono irregular não convexo
• 5 - Propriedades do hexágono
  • → Número de diagonais de um hexágono
  • → Ângulos internos de um hexágono
  • → Ângulos externos de um hexágono regular
  • → Apótema do hexágono regular
  • → Perímetro do hexágono
  • → Área do hexágono regular
• 6 - Hexágono inscrito em uma circunferência
• 7 - Hexágono circunscrito em uma circunferência
• 8 - Prisma de base hexagonal
• 9 - Pirâmide de base hexagonal
• 10 - Exercícios resolvidos sobre hexágono

Resumo sobre hexágono

• O hexágono é um polígono de 6 lados.

• Ele é regular quando possui todos os lados congruentes.

• É irregular quando não possui todos os lados congruentes.

• Em um hexágono regular, cada ângulo interno mede 120°.

• A soma dos ângulos externos de um hexágono regular é sempre 360°.

• Para calcular a área de um hexágono regular, utilizamos a fórmula:

$A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}$

• O perímetro de um hexágono é a soma dos seus lados. Quando ele é regular, temos:

P = 6L

• O apótema de um hexágono regular é calculado pela fórmula:

$a=\frac{\sqrt3}{2}L$

O que é hexágono?

Hexágono é qualquer polígono que possui 6 lados, consequentemente 6 vértices e 6 ângulos. Como se trata de um polígono, ele é uma figura plana fechada com lados que não se cruzam. O hexágono é uma forma recorrente na natureza, como nos favos de mel, em estruturas da química orgânica, nos cascos de certas tartarugas e em flocos de neve.

• Videoaula sobre polígonos

Elementos do hexágono

Um hexágono é composto por 6 lados, 6 vértices e 6 ângulos internos.

• Vértices: os pontos A, B, C, D, E, F.

• Lados: os segmentos $\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}$.

• Ângulos internos: os ângulos a, b, c, d, f.

Classificação dos hexágonos

Os hexágonos, assim como os demais polígonos, podem ser classificados de duas formas.

• Hexágono regular

O hexágono é regular quando ele possui todos os seus lados congruentes — consequentemente, seus ângulos também serão congruentes. O hexágono regular é o mais importante dentre todos, sendo o mais amplamente estudando. É possível calcular vários de seus aspectos, como a área, com fórmulas específicas.

Observação: O hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros, isto é, triângulos com todos os lados iguais.

→ Hexágono irregular

Hexágono irregular é aquele que possui lados com medidas diferentes. Ele pode ser convexo ou não convexo.

• Hexágono irregular convexo

O hexágono é convexo quando possui todos os ângulos internos menores que 180°.

→ Hexágono irregular não convexo

O hexágono é não convexo quando possui ângulos internos maiores que 180°.

Propriedades do hexágono

→ Número de diagonais de um hexágono

A primeira propriedade importante é que em um hexágono convexo, há sempre 9 diagonais. Podemos encontrar essas 9 diagonais geometricamente:

Também podemos encontrar as diagonais algebricamente, por meio da seguinte fórmula:

$d=\frac{n\left(n-3\right)}{2}$

Se substituirmos 6 na equação, temos que:

$d=\frac{6\cdot\left(6-3\right)}{2}$

$d=\frac{6\cdot3}{2}$

$d=\frac{18}{2}$

$d=9$

Então, um hexágono convexo sempre terá 9 diagonais.

Saiba mais: Diagonal do bloco retangular — segmento que liga dois de seus vértices que não estão na mesma face

→ Ângulos internos de um hexágono

Em um hexágono, a soma dos seus ângulos internos é igual a 720°. Para realizar essa soma, basta substituir 6 na fórmula:

$S_i=180\left(n-2\right)$

$S_i=180\left(6-2\right)$

$S_i=180\cdot4$

$S_i=720$

Em um hexágono regular, os ângulos internos sempre medirão 120° cada, pois

720° : 6 = 120°

→ Ângulos externos de um hexágono regular

Quanto aos ângulos externos, sabemos que a soma deles é sempre igual a 360°. Como há 6 ângulos externos, cada um deles medirá 60°, pois

360° : 6 = 60°

→ Apótema do hexágono regular

Considera-se apótema de um polígono regular o segmento de reta que liga o centro do polígono até o ponto médio do seu lado. Como sabemos, o hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros, portanto, o apótema corresponde à altura de um desses triângulos equiláteros. O valor desse segmento pode ser calculado pela fórmula:

$a=\frac{L\sqrt3}{2}$

→ Perímetro do hexágono

Para calcular o perímetro de um hexágono, basta realizar a soma dos seus 6 lados. Quando o hexágono é regular, seus lados são congruentes, logo, é possível calcular o perímetro do hexágono por meio da fórmula:

P = 6L

→ Área do hexágono regular

Como sabemos que o hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros de lado medindo L, é possível deduzir uma fórmula para o cálculo de sua área, utilizando o cálculo da área de um triângulo equilátero multiplicada por 6.

$A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}$

Note que é possível fazer a simplificação dividindo por 2, gerando, então, a fórmula para o cálculo da área do hexágono:

$A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}$

Hexágono inscrito em uma circunferência

Dizemos que um polígono está inscrito em uma circunferência quando ele está dentro da circunferência, e os seus vértices são pontos desta. Podemos representar o hexágono regular inscrito em uma circunferência. Quando fazemos essa representação, é possível verificar que o comprimento do raio da circunferência é igual ao comprimento do lado do hexágono.

Saiba também: Círculo e circunferência — qual a diferença?

Hexágono circunscrito em uma circunferência

Dizemos que um polígono está circunscrito a uma circunferência quando a circunferência está dentro desse polígono. Podemos representar o hexágono regular circunscrito. Nesse caso, a circunferência é tangente ao ponto médio de cada um dos lados do hexágono, o que faz com que o raio da circunferência seja igual ao apótema do hexágono.          

Prisma de base hexagonal

A  Geometria Plana é a base para os estudos da Geometria Espacial. O hexágono pode estar presente na base de sólidos geométricos, como nos prismas.

Para descobrir o volume de um prisma, calculamos o produto entre a área da base e a altura. Como a sua base é um hexágono, seu volume pode ser calculado por:

$V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h$

Leia também: Volume dos sólidos geométricos — como calcular?

Pirâmide de base hexagonal

Além do prisma de base hexagonal, existem também as pirâmides de base hexagonal.

Para descobrir o volume de uma pirâmide de base hexagonal, calculamos o produto entre a área da base, a altura e dividimos por 3.

$V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h:3$

Note que multiplicamos e dividimos por três, o que possibilita uma simplificação. Então, o volume de uma pirâmide de base hexagonal é calculado pela fórmula:

$V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h$

Exercícios resolvidos sobre hexágono

Questão 1

Um terreno possui formato de um hexágono regular. Deseja-se cercar essa área com arame farpado, de maneira que o arame dê 3 voltas em torno do território. Sabendo que foram gastos, ao todo, 810 metros de arame para cercar todo o terreno, a área desse hexágono mede, aproximadamente:

(Use $\sqrt3=1,7$)

A) 5102 m²

B) 5164 m²

C) 5200 m²

D) 5225 m²

E) 6329 m²

Resolução:

Alternativa B

O perímetro do hexágono regular é 

$P=6L$

Como foram dadas 3 voltas, para dar uma só volta foi gasto o total de 270 metros, pois sabemos que:

810 : 3 = 270

Então, temos:

$6L=270$

$L=\frac{270}{6}$

$L=45\ metros$

Conhecendo a medida do lado, calcularemos a área:

$A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}$

$A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}$

$A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}$

$A=3\cdot1012,5\sqrt3$

$A=3037,5\sqrt3$

$A=3037,5\cdot1,7$

$A=5163,75m^2$

Arredondando, obtemos:

$A\approx5164m^2$

Questão 2

(PUC - RS) Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal regular. A distância entre os lados paralelos é de 1 cm, conforme a figura abaixo. O lado desse hexágono mede ______ cm.

A) $\frac{1}{2}$

B) $\frac{\sqrt3}{3}$

C) $\sqrt3$

D) $\frac{\sqrt5}{5}$

E) 1

Resolução:

Alternativa  B

Em relação ao hexágono regular, sabemos que seu apótema é a medida do centro até o ponto médio de um dos lados. Assim, o apótema é a metade da distância indicada na imagem. Logo, temos que:

$2a=1cm$

$a=\frac{1}{2}$

O apótema é, então, igual a $\frac{1}{2}$. Existe uma relação entre os lados do hexágono e o apótema, pois em um hexágono regular, temos:

$a=\frac{L\sqrt3}{2}$

Como conhecemos o valor do apótema, podemos substituir $a=\frac{1}{2}$ na equação:

$\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}$

$1=L\sqrt3$

$L\sqrt3=1$

$L=\frac{1}{\sqrt3}$

Racionalizando a fração:

$L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}$

$L=\frac{\sqrt3}{3}$