Trapézio

Matemática

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O trapézio é uma figura da geometria plana bastante presente no nosso dia a dia. Trata-se de um polígono que possui quatro lados, sendo dois lados paralelos (conhecidos como base maior e base menor) e dois não paralelos (lados oblíquos). Como todo quadrilátero, ele possui duas diagonais, e a soma dos seus ângulos internos é sempre igual a 360º.

Um trapézio pode ser classificado como trapézio retângulo, quando possui dois ângulos retos; trapézio isósceles, quando os lados não paralelos são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida; e trapézio escaleno, quando todos os lados possuem medidas diferentes. O perímetro de um trapézio é calculado pela soma de seus lados, e há fórmulas específicas para calcular a área e a mediana de Euler do trapézio.

Grande trapézio formado por diversas formas geométricas
Grande trapézio formado por diversas formas geométricas

Elementos de um trapézio

Definimos como trapézio todo quadrilátero que possui dois lados paralelos. Os lados paralelos são conhecidos como base maior e base menor. Como todo quadrilátero, possui duas diagonais, e a soma dos ângulos internos é igual a 360º.

Os elementos do trapézio são:

  • Quatro lados;

  • Dois lados paralelos entre si e dois não paralelos;

  • Quatro vértices;

  • Quatro ângulos internos, cuja soma é igual a 360º;

  • Duas diagonais.

  • C, D, E, F: vértices

  • B: base maior do trapézio

  • b: base menor do trapézio

  • h: altura

  • L1 e L2: lados oblíquos

Leia também: Círculo e circunferências – figuras planas que podem gerar dúvidas

Classificação do trapézio

Existem três possíveis classificações para um trapézio de acordo com o formato que ele possui. Um trapézio pode ser retângulo, isósceles ou escaleno.

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  • Trapézio retângulo

Possui dois ângulos retos.

  • Trapézio isósceles

Possui os lados oblíquos congruentes, ou seja, os lados não paralelos possuem a mesma medida.

  • Trapézio escaleno

Possui todos os lados distintos.

Propriedades do trapézio

Como propriedade específica do trapézio, podemos afirmar que os ângulos adjacentes dos lados não paralelos possuem soma igual a 180º.

a + d = 180º
b + c = 180º

  • Propriedades específicas para o trapézio isósceles

Existem duas propriedades que são específicas do trapézio isósceles. A primeira delas é que os ângulos da base, assim como os lados não paralelos, são congruentes.

A segunda propriedade do trapézio isósceles é que, ao traçarmos as alturas, formamos dois triângulos congruentes, além de ser possível a aplicação do teorema de Pitágoras nesse triângulo.

Observação: Existe uma relação na base maior – não é uma propriedade, mas é uma relação importante para a resolução de exercícios – que podemos descrever como:

B = b + 2a

Veja também: Triângulo equilátero – propriedades e particularidades

Perímetro do trapézio

O perímetro de um trapézio qualquer é calculado pela soma de todos os lados.

P = B + b + L1 + L2

  • Exemplo

Qual será a quantidade de arame, em metros, para dar cinco voltas no terreno que possui o formato do trapézio escaleno abaixo:

Resolução

P = 18 + 13 + 7 + 9 = 47 metros.

Como serão dadas cinco voltas, então 5P = 5 . 47 = 235 metros de fio.

Área do trapézio

Para calcular a área do trapézio, há uma fórmula específica, que depende do valor das bases e da altura.

  • Exemplo

Em uma vidraçaria, os vidros são produzidos sob encomenda, custando R$ 96,00 o m². Para construir o vidro que ficará em uma mesa no formato de um trapézio (base maior mede 1,3 m; base menor mede 0,7 m; altura mede 1 m.), o valor gasto no vidro será de?

Resolução

B = 1,3

b = 0,7

h =1

Como a mesa tem exatamente 1 m², serão gastos R$ 96,00.

Base média do trapézio

A base média do trapézio é o segmento paralelo à base maior e à base menor que une os pontos médios dos lados oblíquos.

E e F são pontos médios dos seus respectivos lados, e o segmento formado ao ligar esses pontos é a base média. O comprimento da base média é calculado pela média aritmética entre a base maior e base menor:

Mediana do trapézio

Conhecida como mediana de Euler do trapézio (Me), trata-se do segmento de reta formado pela ligação entre os pontos médios das duas diagonais do trapézio.

Para calcular o comprimento da mediana de Euler, a fórmula é a seguinte:

  • Exemplo 1

Encontre o comprimento da mediana do trapézio cujas bases medem 7 cm e 10 cm.

Resolução

  • Exemplo 2

Calcule o valor da base maior e da base menor do trapézio abaixo sabendo que M e N são pontos médios das diagonais.

Resolução

Sabemos que B = 2x + 7, b = 3x -1 e Me = 2, logo:

Como x = 4, então é possível encontrar a base maior e a base menor substituindo x.

Acesse também: Ponto, reta, plano e espaço: conceitos básicos da geometria

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Sabendo que um trapézio possui base maior igual a 15 e base menor igual a 7, o valor da diferença entre o comprimento da sua base média e a sua mediana de Euler é igual a?

a) 11
b) 4
c) 6
d) 7
e) 8

Resolução

1º passo: calcular o comprimento da base média.

2º passo: calcular o comprimento da mediana de Euler.

3º passo: calcular a diferença entre Bm e Me.

11 – 4 = 7

Logo, a alternativa correta é a letra “d”.

Questão 2 - As bases de um trapézio isósceles medem 6 cm e 14 cm, e um lado oblíquo mede 5 cm, então, pode-se afirmar que a área desse trapézio, em cm², é:

a) 28

b) 30

c) 32

d) 34

e) 40

Resolução

Para calcularmos a área desse trapézio, precisamos encontrar a altura. Para isso, faremos o desenho de um trapézio isósceles com as informações dadas:

Como para calcular a área precisamos do valor das duas bases e do valor de h, que ainda não conhecemos, vamos encontrar o valor de a para aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo CEP.

Sabemos que:

Encontrando o valor de a, é possível calcular o valor de h pelo teorema de Pitágoras.

Conhecendo o valor de h, é possível calcular a área do trapézio:

Logo, a alternativa correta é a letra “b”.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Trapézio"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/quadrilateros-e-trapezio.htm. Acesso em 29 de novembro de 2020.

Lista de Exercícios
Questão 1

(EsPCEx) As regras que normatizam as construções em um condomínio definem que a área construída não deve ser inferior a 40% da área do lote e nem superior a 60% desta. O proprietário de um lote retangular pretende construir um imóvel de formato trapezoidal, conforme indicado na figura.

Para respeitar as normas acima definidas, assinale o intervalo que contém todos os possíveis valores de x.

a) [6, 10]

b) [8, 14]

c) [10, 18]

d) [16, 24]

e) [12, 24]

Questão 2

(PUC-SP) Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir, são dadas as dimensões do prisma em metros. O volume desse tanque em metros cúbicos é?

a) 50

b) 60

c) 80

d) 100

e) 120

Mais Questões