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Triângulo

Matemática

Conhecemos como triângulo o polígono que possui três lados. Trata-se da figura mais simples estudada na geometria plana.
O triângulo é um polígono de três lados.
O triângulo é um polígono de três lados.
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O triângulo é um polígono que possui três lados. Ele é o polígono mais simples, pois possui o menor número de lados. Os principais elementos dessa figura geométrica são os seus três lados e os três ângulos.

Para calcular o perímetro de um triângulo, basta somar os seus lados. Já a área é calculada pelo produto entre o comprimento da base e da altura dividido por dois. A propriedade mais importante de um triângulo é que a soma dos seus ângulos internos é sempre igual a 180º.

Leia também: Quais são os pontos notáveis de um triângulo?

Resumo sobre triângulo

  • O triângulo é um polígono de 3 lados e 3 ângulos.

  • A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.

  • Um triângulo pode ser classificado com relação aos seus lados em:

    • equilátero: todos os lados congruentes;

    • isósceles: dois lados congruentes;

    • escaleno: todos os lados com medidas distintas.

  • Um triângulo pode ser classificado quanto aos ângulos em:

    • retângulo: possui um ângulo reto;

    • acutângulo: possui todos os ângulos agudos;

    • obtusângulo: possui um ângulo obtuso.

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Elementos de um triângulo

Os principais elementos de um triângulo são os lados e os seus ângulos internos. Vale dizer que ele é o único polígono que não possui diagonal.

Elementos do triângulo

  • Os lados são os segmentos de reta AB, AC e BC.

  • Os ângulos internos são os ângulos α, ꞵ e γ.

Propriedades de um triângulo

As propriedades a seguir são válidas para todo triângulo.

  • A soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°.

  • A soma dos ângulos externos é sempre igual a 360°.

  • O menor lado é sempre oposto ao menor ângulo interno do triângulo.

  • O maior lado é sempre oposto ao maior ângulo interno do triângulo.

Veja também: Os 4 erros mais cometidos na trigonometria básica

Classificação do triângulo

Há duas maneiras distintas de classificar um triângulo: uma delas leva em consideração os lados, e a outra, os ângulos.

Classificação dos triângulos quanto aos lados

Quanto aos lados, há três casos possíveis: o triângulo pode ser equilátero, isósceles ou escaleno.

  • Triângulo equilátero

O triângulo é classificado como equilátero quando as medidas dos seus lados são todas congruentes e, consequentemente, os ângulos também.

Triângulo equilátero
Triângulo equilátero
  • Triângulos isósceles

Um triângulo é isósceles quando possui exatamente dois lados congruentes.

Triângulo isósceles
Triângulo isósceles
  • Triângulo escaleno

Um triângulo é classificado como escaleno quando ele possui todos os lados com medidas distintas.

 Triângulo escaleno
 Triângulo escaleno

Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

Quando analisamos os ângulos do triângulo, há também três casos: o triângulo acutângulo, o triângulo retângulo e o triângulo obtusângulo.

  • Triângulo acutângulo

O triângulo é classificado como acutângulo quando ele possui todos os ângulos agudos.

Triângulo acutângulo
Triângulo acutângulo
  • Triângulo retângulo

O triângulo é retângulo quando ele possui um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°.

 Triângulo retângulo
 Triângulo retângulo
  • Triângulo obtusângulo

O triângulo é classificado como obtusângulo quando ele possui um ângulo obtuso.

 Triângulo obtusângulo
 Triângulo obtusângulo

Videoaula sobre classificação dos triângulos

Condição de existência do triângulo

Dados três segmentos de reta, nem sempre eles podem formar um triângulo. Para que os três segmentos formem um triângulo, existe o que conhecemos como condição de existência, que é a seguinte: a soma de dois lados é sempre menor que o terceiro lado.

Exemplo de triângulo com lados a, b e c para apresentar a condição de existência.

Em um triângulo, segundo a condição de existência, temos que:

a + b > c

b + c > a

a + c > b

Veja também: Quais são os ângulos notáveis?

Área do triângulo

A área do triângulo é calculada multiplicando a base pela altura e dividindo por 2. Então, dado o triângulo de altura h e base b, como o da imagem a seguir, para calcular a área, utilizamos a seguinte fórmula:

Exemplo de triângulo retângulo de lados a, b e c, além de altura h, para demonstrar a fórmula da área.

 Fórmula da área do triângulo

Exemplo:

Dado um triângulo com base medindo 12 cm e altura igual a 8 cm, calcule a sua área.

Cálculo da área de um triângulo com base medindo 12 cm e altura 8 cm, resultando em 48 cm².

  • Videoaula sobre área do triângulo

Perímetro do triângulo

O perímetro de um triângulo, assim como dos demais polígonos, é calculado pela soma de todos os lados.

 Triângulo de lados a, b e c para demonstrar a fórmula do perímetro

P = a + b + c

Exercícios resolvidos sobre triângulos

1. Deseja-se cercar o terreno a seguir com uma cerca contendo 4 fios de arame.

Representação de terreno com formato triangular com lados medindo 9 m, 12 m e 15 m.

A quantidade mínima necessária de arame para construir essa cerca é de:

A) 36.

B) 54.

C) 72.

D) 108.

E) 144.

Resolução

Alternativa E.

Para encontrar a quantidade de arame necessária para cercar o terreno, devemos determinar o perímetro e, depois, multiplicar por 4.

P = 15 + 9 + 12

P = 36

Como serão dadas 4 voltas, então 36 · 4 = 144 m.

2. Sobre os triângulos, julgue as afirmativas a seguir:

I → O triângulo possui 3 lados, 3 ângulos e 1 diagonal.

II → Todo triângulo equilátero é acutângulo.

III → Em um triângulo retângulo, a soma dos ângulos não retângulos é sempre igual a 90º.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é incorreta.

B) Somente a afirmativa II é incorreta.

C) Somente a afirmativa III é incorreta.

D) Todas as afirmativas são incorretas.

E) Todas as afirmativas são corretas.

Resolução

Alternativa A.

I → Falsa. O triângulo é um polígono que não possui diagonal.

II → Verdadeira. Um triângulo equilátero possui todos os ângulos congruentes. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, sabemos que 180 : 3 = 60°.

III → Verdadeira. Se um triângulo é retângulo, ele possui um ângulo igual a 90º. Como a soma dos três ângulos internos é 180º, sabemos que 180 – 90 = 90º, então a soma dos dois ângulos restantes é, de fato, igual a 90º.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Listagem de Artigos

Assista às nossas videoaulas
Lista de Exercícios
Questão 1

Deseja-se cercar uma mata, onde será criada uma área de preservação ambiental, com forma triangular. Para tanto, foi feito um mapa com as seguintes anotações:

Sabendo que a cerca custará, por metro, R$ 32,00, quanto será gasto para construí-la?

a) R$ 330,00

b) R$ 1320,00

c) R$ 42240,00

d) R$ 33000,00

e) R$ 13200,00

Questão 2

Os triângulos podem ser classificados com relação aos seus ângulos ou com relação aos seus lados. Dois triângulos colocados lado a lado possuem as seguintes características: o primeiro possui um ângulo de 90°01' e o segundo possui três lados iguais. As classificações respectivamente corretas para esses triângulos são:

a) Retângulo e isósceles

b) Retângulo e escaleno

c) Retângulo e equilátero

d) Obtusângulo e escaleno

e) Obtusângulo e equilátero

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