Polígonos são figuras geométricas planas e fechadas formadas por segmentos de reta. Os polígonos dividem-se em dois grupos, os convexos e os não convexos. Quando um polígono possui todos os seus lados iguais e, consequentemente, todos os ângulos internos iguais, trata-se de um polígono regular. Os polígonos regulares podem ser nomeados de acordo com a quantidade de seus lados.
Veja também: Construção de polígonos circunscritos
Polígono é a figura plana e fechada formada pela união de um número finito de segmentos de retas. Assim, considere um polígono qualquer:
Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices do polígono e são formados pelo encontros dos segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HA, chamados lados do polígono.
Os segmentos AF, AE, AD e BG são as diagonais do polígono. (Perceba que esses são alguns exemplos de diagonais, no polígono anterior temos mais dessas.) Diagonais são segmentos de retas que “ligam” os vértices do polígono.
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Podemos nomear os polígonos de acordo com seu número de lados. Veja na tabela a seguir o nome dos principais polígonos.
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Número de lados (n) |
Nomenclatura |
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3 |
Triângulo |
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4 |
Quadrilátero |
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5 |
Pentágono |
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6 |
Hexágono |
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7 |
Heptágono |
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8 |
Octógono |
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9 |
Eneágono |
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10 |
Decágono |
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11 |
Undecágono |
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12 |
Dodecágono |
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15 |
Pentadecágono |
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20 |
Icoságono |
Note que não é necessário decorar a tabela e sim entendê-la. Com exceção do triângulo e do quadrilátero, a formação da palavra é:
Número de lados + gono
Por exemplo, quando temos o polígono de cinco lados, automaticamente nos lembramos do prefixo penta mais o sufixo gono: pentágono.
Determine o nome do polígono a seguir:
Os polígonos são classificados pela medida de seus ângulos e lados. Um polígono é dito equilátero quando possui lados congruentes, ou seja, todos lados iguais; e será dito equiângulo quando possuir ângulos congruentes, isto é, todos ângulos iguais.
Caso um polígono seja equilátero e equiângulo, então ele será um polígono regular.
Em todo polígono regular, o centro tem a mesma distância dos lados, ou seja, é equidistante dos lados. O centro do polígono é também o centro da circunferência inscrita no polígono, ou seja, a circunferência que está “dentro” da circunferência.
Leia mais: Semelhança de polígonos: veja quais são as condições
Seja ai um ângulo interno de um polígono regular de n lados, representaremos a soma desses ângulos internos por Si.
Assim, a soma dos ângulos internos é dada por:
Si = (n - 2) · 180°
Para calcular o valor de cada ângulo interno, basta pegar o valor da soma dos ângulos internos e dividir pelo número de lados, ou seja:
ai = Si
n
Determine a soma dos ângulos internos e, em seguida, a medida de cada ângulo interno de um icoságono.
Sabemos que um icoságono possui vinte lados, logo, n = 20. Substituindo nas relações, temos:
Si = (n - 2) · 180°
Si = (20 - 2) · 180°
Si = 18 · 180°
Si = 3240°
Agora, para determinar o valor de cada ângulo interno, basta dividir o valor encontrado pelo número de lados:
ai = 3240°
20
ai = 162°
A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 720°, determine o polígono.
Substituindo a informação do enunciado na fórmula, temos:
720° = (n - 2) · 180°
720° = 180n – 360°
180n = 720° + 360°
180n = 1080°
n = 1080°
180°
n = 6 lados
Assim, o polígono procurado é o hexágono.
A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360°.
Se = 360°
ae = Se
n
ae = 360°
n
Considere um polígono de n lados. Para determinar o número de diagonais (d), utilizamos a seguinte relação:
d = n · (n - 3)
2
Determine o número de diagonais de um pentágono e represente-as graficamente.
Sabemos que um pentágono possui cinco lados, assim, n = 5. Substituindo na expressão, temos que:
d = 5 · (5 - 3)
2
d = 5 · 2
2
d = 5
O perímetro de polígonos é definido pela soma de todos os lados. A área de um polígono é calculada a partir da divisão do polígono em figuras cujo cálculo da área é mais fácil, como o triângulo e o quadrado.
AΔ = base · altura
2
Aquadrado = base · altura
Determine uma expressão matemática que represente a área de um hexágono regular.
Solução:
Inicialmente, considere um hexágono regular e todos os segmentos de retas que liguem o centro do polígono a cada vértice. Assim:
Perceba que, devido ao fato do hexágono ser regular, ao dividi-lo, encontramos seis triângulos equiláteros, logo, a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo equilátero, ou seja:
Ahexágono = 6 · AΔ
Ahexágono = 6 · l2 · √3
4
Ahexágono = 3 · l2 · √3
2
Ahexágono = 3 · l2·√3
2
Leia também: Área do triângulo equilátero
Questão 1 – (Enem) Uma piscina tem o formato de um polígono regular cuja medida do ângulo interno é três vezes e meia a medida do ângulo externo. Qual é a soma dos ângulos internos do polígono cuja forma é igual à dessa piscina?
a) 1800°
b) 1620°
c) 1440°
d) 1260°
e) 1080°
Solução
Como não sabemos a quantidade de lados do polígono, vamos imaginar só um dos vértices desse polígono.
Da imagem podemos ver que:
ai + ae = 180° (I)
Do enunciado temos que:
ai = 3,5 · ae (II)
Substituindo a equação (II) na equação (I), teremos que:
3,5 · ae + ae = 180°
4,5 · ae = 180°
ae = 180°
4,5
ae = 40°
No entanto sabemos que um ângulo interno é a divisão de 360° pelo número de lados do polígono. Assim:
ae = 360°
n
40° = 360°
n
40n = 360°
n = 360°
40°
n = 9
Logo, a soma dos ângulos internos da piscina é:
Si = (n - 2) · 180°
Si = (9 - 2) · 180°
Si = 7 · 180°
Si = 1260°
Por Robson Luiz
Professor de Matemática
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
LUIZ, Robson. "Polígonos"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/poligonos.htm. Acesso em 31 de março de 2020.
