Volume do prisma

Os prismas são sólidos geométricos cujas faces laterais são paralelogramos que possuem duas bases poligonais congruentes e paralelas. O volume dos prismas é uma forma de mensurar a quantidade de espaço ocupada por eles a partir de algumas de suas medidas. O volume também é conhecido como capacidade.

A fórmula usada para calcular o volume dos prismas é a seguinte:

V = A_B·h

Em que:

V = volume do prisma
A_B = área da base do prisma
h = altura

A área total das bases é o dobro da área de uma das bases do prisma. Essas bases, como dito anteriormente, são polígonos. Quando esses polígonos forem triangulares ou quadriláteros, será fácil calcular a área. Entretanto, caso sejam outro polígono, o problema em questão deverá propor alguma fórmula ou forma alternativa para que essa área seja calculada.

A estratégia usada para mostrar que a fórmula V = A_B·h vale para todo prisma depende do princípio de Cavalieri. De acordo com esse princípio, independentemente do formato da base de um prisma A, sempre existirá um bloco retangular cuja área da base será igual à área da base do prisma A. Sendo assim, se os dois possuírem a mesma altura, terão o mesmo volume. Logo, a fórmula para o cálculo do volume de ambos é a mesma.

Confira a seguir exemplos de cálculo de área de alguns prismas.

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• 1 - Exemplos

Exemplos

1º exemplo – Um bloco retangular possui 15 cm de largura, 10 cm de comprimento e 45 cm de altura. Qual é o volume desse bloco retangular?

Solução: O bloco retangular é um prisma reto cuja base é um retângulo. A largura e o comprimento de um prisma são as dimensões de sua base. Dessa maneira, a base desse prisma é um retângulo cuja “altura” e “base” medem 10 cm e 15 cm, respectivamente. Assim, a área da base A_B será:

AB = 15·10 = 150 cm²

A partir disso, o volume do prisma será calculado da seguinte forma:

V = A_B·h

V = 150·45

V = 6750 cm³

Portanto, o volume desse prisma é de 6750 cm³.

2º exemplo – Calcule o volume de um prisma cuja base é um triângulo equilátero com 18 cm de lado e 30 cm de altura.

Solução: Para calcular a área da base, é necessário calcular a área do triângulo equilátero e multiplicar pela altura do prisma. A área desse triângulo pode ser calculada pela fórmula a seguir. Essa fórmula também pode ser encontrada com mais detalhes e exemplos no texto: Área de um triângulo equilátero.

A_B = l²·√3
       4

A_B = 18²·√3
        4

A_B = 324·1,73
       4

A_B = 560,52
       4

A_B = 140,13 cm²

Assim, a área do prisma será:

V = A_B·h

V = 140,13·30

V = 4203,9 cm³

3º exemplo – Calcule o volume do prisma abaixo sabendo que suas bases são regulares.

Solução: Na imagem abaixo, observe a divisão do hexágono regular feita por meio de suas diagonais. Dessa maneira, é possível dividir o hexágono em 6 triângulos equiláteros, cujo lado corresponde a 20 cm. Assim, a área da base desse prisma será igual a 6 vezes a área da do triângulo equilátero de lado 20 cm.

A_B = 6·20²·√3
          4

A_B = 6·400·1,73
         4

A_B = 6·692
          4

A_B = 6·173

A_B = 1038 cm²

Assim, é possível calcular o volume:

V = A_B·h

V = 1038·50

V = 51900 cm³

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática