Fundo Menu
Whatsapp icon Whatsapp
Copy icon

Números complexos

Números complexos são o conjunto de números formados por uma parte real e uma parte imaginária, em que a parte imaginária corresponde à raiz de um número negativo.

Imprimir
Texto:
A+
A-

PUBLICIDADE

Os números complexos surgem a partir da necessidade de resolução de equações que possuem raiz de números negativos, o que, até então, não era possível de resolver-se trabalhando com os números reais. Os números complexos podem ser representados de três formas: a forma algébrica (z = a + bi), composta por uma parte real a e uma parte imaginária b; a forma geométrica, representada no plano complexo conhecido também como plano de Argand-Gauss; e a sua forma trigonométrica, conhecida também como forma polar. Com base na sua representação, como estamos trabalhando com um conjunto numérico, os números complexos possuem operações bem definidas: adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.

Pela representação geométrica no plano complexo, definimos também o módulo (representado por |z|) de um número complexo — que é a distância do ponto que representa o número complexo até a origem —, e o que é o argumento de um número complexo — que é o ângulo formado entre o eixo horizontal e o seguimento que liga a origem ao ponto que representa o número complexo.

Representação algébrica dos números complexos.
Representação algébrica dos números complexos

Tópicos deste artigo

Necessidade dos números complexos

Na matemática, a ampliação de um conjunto numérico para um novo conjunto, ao longo da história, foi algo bastante comum. Acontece que, nesse decorrer, a matemática desenvolveu-se, e então, para atender as necessidades da época, foi percebido que existiam números que não pertenciam ao conjunto numérico a que se referia. Foi assim com o surgimento dos conjuntos numéricos dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e dos reais, e não foi diferente quando houve a necessidade de ampliação do conjunto dos números reais para o dos números complexos.

Ao tentarmos resolver equações do segundo grau, é bastante comum que encontremos a raiz quadrada de um número negativo, o que é impossível de ser resolvido no conjunto dos números reais, por isso a necessidade dos números complexos. O início do estudo desses números recebeu contribuições de matemáticos importantes, como Giralmo Cardono, porém o conjunto deles foi formalizado por Gauss e Argand.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Forma algébrica de um número complexo

Ao tentar-se resolver uma equação do segundo grau, como x² = –25, muitas vezes ela era dita como sem solução. Não obstante, na tentativa de algebrizar, surgiu então a representação algébrica, que possibilita a realização de operações com esses números, ainda que não se consiga calcular a raiz quadrada de um número negativo.

Para facilitar a resolução das situações em que se trabalha com a raiz quadrada de um número negativo, foi definida a unidade imaginária.

Então, analisando-se a equação apresentada x² = -25, temos que:

Desse modo, as soluções para a equação são -5i e 5i.

Para definir-se a forma algébrica, foi utilizada a letra i, conhecida como unidade imaginária de um número complexo. Um número complexo é representado por:

z = a + bi

Em que a e b são números reais.

a: parte real, indicada por a = Re(z);

b: parte imaginária, indicada por Im(z);

i: unidade imaginária.

  • Exemplos

a) 2 + 3i

b) -1 + 4i

c) 50,2i

d) -1 3i

Quando a parte real é nula, o número é conhecido como imaginário puro, por exemplo, –5i e 5i são imaginários puros por não possuírem parte real.

Quando a parte imaginária é nula, o número complexo é também um número real.

Operações com números complexos

Como todo conjunto numérico, as operações precisam estar bem definidas, logo, é possível realizar-se as quatro operações básicas dos números complexos levando-se em consideração a forma algébrica apresentada.

  • Adição de dois números complexos

Para realizarmos a adição de dois números complexos z1 e z2, faremos a soma da parte real de z1 e z2 e a soma da parte imaginária, respectivamente.

Seja:

z1 = a + bi

z2 = c + di

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

  • Exemplo 1

Realização da soma de z1 e z2.

z1 = 2 + 3i

z2 = 1 + 2i

z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 2)i

z1 + z2 = 3 + 5i

  • Exemplo 2

Realização da soma de z1 e z2.

z= 5 – 2i

z2 = – 3 + 2i

z1 + z= (5 + (–3)) + (–2 + 2)i

z1 + z= (5 – 3) + 0i

z+ z2 = 2 + 0= 2

Veja também: Representação geométrica da soma de números complexos

  • Subtração de dois números complexos

Antes de falarmos sobre subtração, precisamos definir o que é o inverso de um número complexo, ou seja, z = a + bi. O inverso de z, representado por –z, é o número complexo –z = –a – bi.

Para realizarmos a subtração entre z1 e –z2, assim como na adição, faremos a subtração entre as partes reais e entre as partes imaginárias separadamente, porém é necessário compreender-se que –z2 é o inverso de um número complexo, o que torna necessário a realização do jogo de sinal.

  • Exemplo 1

Realização da subtração de z1 e z2.

z1 = 2 + 3i

z2 = 1 + 2i

z1 z2 = (2 – 1) + (3 – 2)i

z1 z2 = 1 + 1i = 1+ i

  • Exemplo 2

Realização da subtração de z1 e z2.

z1 = 5 – 2i

z2 = – 3 + 2i

z1 z2 = (5 – (–3)) + (–2 – 2)i

z1 z2 = (5 + 3) + (–4)i

z1 z2 = 8 + (–4)i

z1 z2 = 8 –4i

  • Potências da unidade imaginária

Antes de falarmos em multiplicação, precisamos entender a potência da unidade imaginária. Na busca por um método para calcular-se potências de in, é necessário perceber que essas potências comportam-se de forma cíclica. Para isso, vamos calcular algumas potências de i.

Acontece que as próximas potências nada mais são que a sua repetição, note que:

i 4 = i 2 · i 2 = (–1) (–1) = 1

i 5 = i 2 · i 3 = (–1) (–i) = i

Ao continuarmos a calcular as potências, as respostas sempre serão elementos do conjunto {1,i,–1,–i}, então, para encontrarmos uma potência da unidade i n, faremos a divisão de n (o expoente) por 4, e o resto dessa divisão (r = { 0, 1, 2, 3}) será o novo expoente de i.

  • Exemplo 1

Cálculo de i25

Ao fazermos a divisão de 25 por 4, o quociente será 6 e o resto será igual a 1. Então temos que:

i 25 = i1 = i

  • Exemplo 2

Cálculo de i 403

Ao dividirmos 403 por 4, o quociente será 100, pois 100 · 4 = 400, e o resto será 3, então temos que:

i 403 = i 3 = –i

  • Multiplicação de números complexos

Para realizarmos a multiplicação de dois números complexos, vamos aplicar a propriedade distributiva. Seja:

z1 = a + bi

z2 = c +di, então o produto:

z1 · z2 = (a + bi) (c + di), aplicando a propriedade distributiva,

z1 · z2 = ac + adi + cbi + bdi 2, mas, como vimos, i ² = -1

z1 · z2 = ac + adi + cbi – bd

z1 · z2 = (ac bd) + (ad + cb)i

Utilizando-nos dessa fórmula, é possível encontrarmos o produto de quaisquer dois números complexos, mas, de modo geral, ela não precisa ser decorada, já que, para o cálculo em questão, basta aplicarmos a propriedade distributiva.

  • Exemplo

Cálculo do produto de (2+3i) (1 – 4i):

(2+3i) (1 – 4i) = 2 8i + 3i 12i ², lembrando que = -1:

(2 + 3i) (1 – 4i) = 2 8i + 3i + 12

(2 + 3i) (1 – 4i) = (2 + 12) + (8 + 3)i

(2+3i) (1 – 4i) = 14 5i

Acesse também: Adição, subtração e multiplicação de número complexo

  • Conjugado de um número complexo

Antes de falarmos de divisão, precisamos entender bem o que é o conjugado de um número complexo. O conceito é simples, para encontrarmos o conjugado de um número complexo, basta trocarmos o sinal da parte imaginária.

  • Divisão de dois números complexos

Para realizarmos a divisão de dois números complexos, precisamos multiplicar a fração pelo conjugado do denominador para que fique bem definido o que é a parte real e o que é a parte imaginária.

  • Exemplo

Cálculo da divisão de (6 - 4i) : (4 + 2i)

Veja também: Oposto, conjugado e igualdade de números complexos

Plano complexo ou plano de Argand-Gauss

Conhecido como plano complexo ou plano de Argand-Gauss, ele permite a representação na forma geométrica de um número complexo, esse plano é uma adaptação no plano cartesiano para representar números complexos. O eixo horizontal é conhecido como eixo da parte real Re(z), e o eixo vertical é conhecido como eixo da parte imaginária Im(z). Então o número complexo representado por a + bi gera os pontos no plano complexo formado pelo par ordenado (a, b).

  • Exemplo
    Representação do número 3 + 2i na forma geométrica Z(3,2).

  • Módulo e argumento de um número complexo

O módulo de um número complexo, geometricamente, é a distância do ponto (a,b) que representa esse número no plano complexo até a origem, ou seja, o ponto (0,0).

Como podemos perceber, |z| é a hipotenusa do triângulo retângulo, logo, ela pode ser calculada aplicando-se o teorema de Pitágoras, por isso temos que:

  • Exemplo:

Cálculo do módulo de z = 1 + 3i

O argumento de um número complexo, geometricamente, é o ângulo formado pelo eixo horizontal e o seguimento |z|.

Para encontrar o valor do ângulo, temos que:

O objetivo é encontrar o ângulo θ = arg z.

  • Exemplo:

Encontre o argumento do número complexo: z = 2 + 2i:

Como a e b são positivos, sabemos que esse ângulo está no primeiro quadrante, então vamos calcular |z|.

Conhecendo-se o |z|, é possível calcular o seno e o cosseno.

Como, nesse caso, a e b são iguais a 2, então, ao calcularmos o senθ, encontraremos a mesma solução para o cosseno.

Conhecendo-se os valores de senθ e cosθ, ao consultar-se a tabela dos ângulos notáveis e sabendo-se que θ pertence ao primeiro quadrante, então θ pode ser encontrado em graus ou radianos, logo, conclui-se que:

Forma trigonométrica ou polar

A representação do número complexo na forma trigonométrica só é possível depois que conseguimos entender o conceito de módulo e argumento. Com base nessa representação, são desenvolvidos conceitos importantes para o estudo dos números complexos a nível mais avançado. Para realizarmos a representação trigonométrica, lembraremo-nos de sua forma algébrica z = a + bi, porém, ao analisarmos o plano complexo, temos que:

Ao substituirmos, na forma algébrica, os valores de a = |z| cos θ e b = |z| sen θ, temos que:

z = a + bi

Com z = |z| cos θ + |z| sen θ · i, colocando |z| em evidência, chegamos à fórmula da forma trigonométrica:

z= |z|(cos θ + i · sen θ)

  • Exemplo: Escreva, na forma trigonométrica, o número

Para escrevermos na forma trigonométrica, precisamos do argumento e do módulo de z.

1º passo – Cálculo de |z|

Conhecendo-se o |z|, é possível encontrar-se o valor de θ consultando-se a tabela de ângulos notáveis.

Agora é possível escrever o número z na sua forma trigonométrica com o ângulo em graus ou com o ângulo medido em radianos.

Leia também: Radiciação de números complexos na forma trigonométrica

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (UFRGS) Dados os números complexos z1 = (2,–1) e z2 = (3, x), sabe-se que o produto entre z1 e z2 é um número real. Então x é igual a:

a) -6

b) -3/2

c) 0

d) 3/2

e) 6

Resolução

Alternativa D.

Para que o produto seja um número real, então a parte imaginária é igual a zero.

Escrevendo esses números na forma algébrica, temos que:

z1 = 2 – 1i e z2 = 3 + xi

z1 · z2 = (2 – 1i) (3 + xi)

z1 · z2 = 6 + 2xi –3i – xi ²

z1 · z2 = 6 + 2xi –3i + x

z1 · z2 = 6+ x + (2x – 3)i

Como nosso interesse é que a parte imaginária seja igual a zero, então resolveremos 2x – 3 = 0

Questão 2 - (UECE) Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a -1, então o valor de 5i 227 + i 6i 13 é igual a:

a) i + 1

b) 4i –1

c) –6i –1

d) –6i

Resolução

Alternativa C.

Para resolver essa expressão, é necessário encontrar o resto de cada um dos números na divisão por 4.

227 : 4 resulta em quociente 56 e resto 3.

i 227 = i 3 = –i

6 : 4 resulta em quociente 1 e resto 2.

i 6 = i 2 = –1

13 : 4 resulta em quociente 3 e resto 1.

i 13 = i1 = i

Então temos que:

5i 227 + i 6i 13

5 (–i) + (–1) – i

–5i –1 – i

–6i – 1

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática 

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Números complexos"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm. Acesso em 27 de junho de 2022.

Videoaulas


Artigos Números complexos


A origem da express&atilde;o i<sup>2</sup> = &ndash; 1 aparece na defini&ccedil;&atilde;o de n&uacute;meros complexos
Matemática

A origem de i ao quadrado igual a -1

Saiba o motivo de i2 ser igual a – 1

Matemática

Adição, subtração e multiplicação de número complexo

Conheça os números complexos e saiba efetuar operações de adição, subtração e multiplicação de um número complexo.

Representação de argumento de um número complexo
Matemática

Argumento de um número complexo

Entenda o que é o argumento de um número complexo e como calculá-lo utilizando as razões trigonométricas. Confira ainda exercícios resolvidos sobre o tema!

Matemática

Conjunto dos números complexos

Conjuntos Numéricos.

Matemática

Divisão de números complexos

Números complexos, Divisão de números complexos, Conjugado de números complexos, propriedade distributiva, fração, Divisão, Forma geral da divisão de números complexos.

Matemática

Forma algébrica

Imaginários Puros e Números Reais.

Matemática

Forma Trigonométrica de um Número Complexo

Representação polar de um número complexo.

Matemática

Fórmulas de Moivre

1º Fórmula de Moivre – Potenciação de números complexos na forma trigonométrica.

Matemática

Inverso de um número complexo

Determinando o inverso de um número complexo.

Matemática

Número de raízes de uma equação

Raízes complexas de uma equação

Matemática

Números Complexos

Representação algébrica e importância dos números complexos.

Matemática

Operações de Números Complexos na Forma Trigonométrica

Multiplicação e Divisão na Forma Trigonométrica

O conjunto dos números complexos, contém todos os outros conjuntos numéricos
Matemática

Oposto, conjugado e igualdade de números complexos.

Propriedades dos Números Complexos.

Matemática

Plano de Argand-Gauss (plano complexo)

Conheça o plano de Argand-Gauss e como representar um número complexo nele. Aprenda também o que é o módulo e o que é o argumento de um número complexo.

Símbolo utilizado para caracterizar os números complexos que foi construído a partir de figuras geométricas
Matemática

Propriedades envolvendo números complexos

Confira as propriedades mais importantes envolvendo conjugado e módulo de números complexos.

Matemática

Radiciação de números complexos na forma trigonométrica

A segunda fórmula de Moivre para operações na forma trigonométrica

Representação geométrica da adição dos números complexos a e b
Matemática

Representação geométrica da soma de números complexos

Clique e aprenda como deve ser feita a representação geométrica da soma de números complexos e conheça alguns exemplos dessa operação.

Matemática

Sistema cartesiano ortogonal

Plano cartesiano, Sistema cartesiano ortogonal, Ponto, Par ordenado, Reta, eixo, eixo das ordenadas, Eixo das abscissas, Coordenadas de um ponto, Quadrantes.

PUBLICIDADE

Estude agora


O que é o G-20?

Assista à nossa aula e entenda o que é o G-20. Saiba quais são os objetivos dessa importante associação e suas...

Como fazer a inscrição no Enem 2021

Vai fazer o Enem 2021 neste ano e quer tirar todas as suas dúvidas sobre a forma de se inscrever no exame mais...