Números complexos

Os números complexos surgem a partir da necessidade de resolução de equações que possuem raiz de números negativos, o que, até então, não era possível de resolver-se trabalhando com os números reais. Os números complexos podem ser representados de três formas: a forma algébrica (z = a + bi), composta por uma parte real a e uma parte imaginária b; a forma geométrica, representada no plano complexo conhecido também como plano de Argand-Gauss; e a sua forma trigonométrica, conhecida também como forma polar. Com base na sua representação, como estamos trabalhando com um conjunto numérico, os números complexos possuem operações bem definidas: adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.

Pela representação geométrica no plano complexo, definimos também o módulo (representado por |z|) de um número complexo — que é a distância do ponto que representa o número complexo até a origem —, e o que é o argumento de um número complexo — que é o ângulo formado entre o eixo horizontal e o seguimento que liga a origem ao ponto que representa o número complexo.

Tópicos deste artigo

• 1 - Necessidade dos números complexos
• 2 - Forma algébrica de um número complexo
• 3 - Operações com números complexos
  • Adição de dois números complexos
  • Subtração de dois números complexos
  • Potências da unidade imaginária
  • Multiplicação de números complexos
  • Conjugado de um número complexo
  • Divisão de dois números complexos
• 4 - Plano complexo ou plano de Argand-Gauss
  • Módulo e argumento de um número complexo
• 5 - Forma trigonométrica ou polar
• 6 - Exercícios resolvidos

Necessidade dos números complexos

Na matemática, a ampliação de um conjunto numérico para um novo conjunto, ao longo da história, foi algo bastante comum. Acontece que, nesse decorrer, a matemática desenvolveu-se, e então, para atender as necessidades da época, foi percebido que existiam números que não pertenciam ao conjunto numérico a que se referia. Foi assim com o surgimento dos conjuntos numéricos dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e dos reais, e não foi diferente quando houve a necessidade de ampliação do conjunto dos números reais para o dos números complexos.

Ao tentarmos resolver equações do segundo grau, é bastante comum que encontremos a raiz quadrada de um número negativo, o que é impossível de ser resolvido no conjunto dos números reais, por isso a necessidade dos números complexos. O início do estudo desses números recebeu contribuições de matemáticos importantes, como Giralmo Cardono, porém o conjunto deles foi formalizado por Gauss e Argand.

Forma algébrica de um número complexo

Ao tentar-se resolver uma equação do segundo grau, como x² = –25, muitas vezes ela era dita como sem solução. Não obstante, na tentativa de algebrizar, surgiu então a representação algébrica, que possibilita a realização de operações com esses números, ainda que não se consiga calcular a raiz quadrada de um número negativo.

Para facilitar a resolução das situações em que se trabalha com a raiz quadrada de um número negativo, foi definida a unidade imaginária.

Então, analisando-se a equação apresentada x² = -25, temos que:

Desse modo, as soluções para a equação são -5i e 5i.

Para definir-se a forma algébrica, foi utilizada a letra i, conhecida como unidade imaginária de um número complexo. Um número complexo é representado por:

z = a + bi

Em que a e b são números reais.

a: parte real, indicada por a = Re(z);

b: parte imaginária, indicada por Im(z);

i: unidade imaginária.

• Exemplos

a) 2 + 3i

b) -1 + 4i

c) 5 – 0,2i

d) -1 – 3i

Quando a parte real é nula, o número é conhecido como imaginário puro, por exemplo, –5i e 5i são imaginários puros por não possuírem parte real.

Quando a parte imaginária é nula, o número complexo é também um número real.

Operações com números complexos

Como todo conjunto numérico, as operações precisam estar bem definidas, logo, é possível realizar-se as quatro operações básicas dos números complexos levando-se em consideração a forma algébrica apresentada.

• Adição de dois números complexos

Para realizarmos a adição de dois números complexos z₁ e z₂, faremos a soma da parte real de z₁ e z₂ e a soma da parte imaginária, respectivamente.

Seja:

z₁ = a + bi

z₂ = c + di

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

• Exemplo 1

Realização da soma de z₁ e z_2.

z₁ = 2 + 3i

z₂ = 1 + 2i

z₁ + z₂ = (2 + 1) + (3 + 2)i

z₁ + z₂ = 3 + 5i

• Exemplo 2

Realização da soma de z₁ e z_2.

z₁ = 5 – 2i

z₂ = – 3 + 2i

z₁ + z₂ = (5 + (–3)) + (–2 + 2)i

z₁ + z₂ = (5 – 3) + 0i

z₁ + z₂ = 2 + 0i = 2

Veja também: Representação geométrica da soma de números complexos

• Subtração de dois números complexos

Antes de falarmos sobre subtração, precisamos definir o que é o inverso de um número complexo, ou seja, z = a + bi. O inverso de z, representado por –z, é o número complexo –z = –a – bi.

Para realizarmos a subtração entre z₁ e –z₂, assim como na adição, faremos a subtração entre as partes reais e entre as partes imaginárias separadamente, porém é necessário compreender-se que –z₂ é o inverso de um número complexo, o que torna necessário a realização do jogo de sinal.

• Exemplo 1

Realização da subtração de z₁ e z₂.

z₁ = 2 + 3i

z₂ = 1 + 2i

z₁ – z₂ = (2 – 1) + (3 – 2)i

z₁ – z₂ = 1 + 1i = 1+ i

• Exemplo 2

Realização da subtração de z₁ e z₂.

z₁ = 5 – 2i

z₂ = – 3 + 2i

z₁ – z₂ = (5 – (–3)) + (–2 – 2)i

z₁ – z₂ = (5 + 3) + (–4)i

z₁ – z₂ = 8 + (–4)i

z₁ – z₂ = 8 –4i

• Potências da unidade imaginária

Antes de falarmos em multiplicação, precisamos entender a potência da unidade imaginária. Na busca por um método para calcular-se potências de iⁿ, é necessário perceber que essas potências comportam-se de forma cíclica. Para isso, vamos calcular algumas potências de i.

Acontece que as próximas potências nada mais são que a sua repetição, note que:

i ⁴ = i ² · i ² = (–1) (–1) = 1

i ⁵ = i ² · i ³ = (–1) (–i) = i

Ao continuarmos a calcular as potências, as respostas sempre serão elementos do conjunto {1,i,–1,–i}, então, para encontrarmos uma potência da unidade i ⁿ, faremos a divisão de n (o expoente) por 4, e o resto dessa divisão (r = { 0, 1, 2, 3}) será o novo expoente de i.

• Exemplo 1

Cálculo de i²⁵

Ao fazermos a divisão de 25 por 4, o quociente será 6 e o resto será igual a 1. Então temos que:

i ²⁵ = i¹ = i

• Exemplo 2

Cálculo de i ⁴⁰³

Ao dividirmos 403 por 4, o quociente será 100, pois 100 · 4 = 400, e o resto será 3, então temos que:

i ⁴⁰³ = i ³ = –i

• Multiplicação de números complexos

Para realizarmos a multiplicação de dois números complexos, vamos aplicar a propriedade distributiva. Seja:

z₁ = a + bi

z₂ = c +di, então o produto:

z₁ · z₂ = (a + bi) (c + di), aplicando a propriedade distributiva,

z₁ · z₂ = ac + adi + cbi + bdi ², mas, como vimos, i ² = -1

z₁ · z₂ = ac + adi + cbi – bd

z₁ · z₂ = (ac – bd) + (ad + cb)i

Utilizando-nos dessa fórmula, é possível encontrarmos o produto de quaisquer dois números complexos, mas, de modo geral, ela não precisa ser decorada, já que, para o cálculo em questão, basta aplicarmos a propriedade distributiva.

• Exemplo

Cálculo do produto de (2+3i) (1 – 4i):

(2+3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i – 12i ², lembrando que i² = -1:

(2 + 3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i + 12

(2 + 3i) (1 – 4i) = (2 + 12) + (– 8 + 3)i

(2+3i) (1 – 4i) = 14 – 5i

Acesse também: Adição, subtração e multiplicação de número complexo

• Conjugado de um número complexo

Antes de falarmos de divisão, precisamos entender bem o que é o conjugado de um número complexo. O conceito é simples, para encontrarmos o conjugado de um número complexo, basta trocarmos o sinal da parte imaginária.

• Divisão de dois números complexos

Para realizarmos a divisão de dois números complexos, precisamos multiplicar a fração pelo conjugado do denominador para que fique bem definido o que é a parte real e o que é a parte imaginária.

• Exemplo

Cálculo da divisão de (6 - 4i) : (4 + 2i)

Veja também: Oposto, conjugado e igualdade de números complexos

Plano complexo ou plano de Argand-Gauss

Conhecido como plano complexo ou plano de Argand-Gauss, ele permite a representação na forma geométrica de um número complexo, esse plano é uma adaptação no plano cartesiano para representar números complexos. O eixo horizontal é conhecido como eixo da parte real Re(z), e o eixo vertical é conhecido como eixo da parte imaginária Im(z). Então o número complexo representado por a + bi gera os pontos no plano complexo formado pelo par ordenado (a, b).

• Exemplo
  Representação do número 3 + 2i na forma geométrica Z(3,2).

• Módulo e argumento de um número complexo

O módulo de um número complexo, geometricamente, é a distância do ponto (a,b) que representa esse número no plano complexo até a origem, ou seja, o ponto (0,0).

Como podemos perceber, |z| é a hipotenusa do triângulo retângulo, logo, ela pode ser calculada aplicando-se o teorema de Pitágoras, por isso temos que:

• Exemplo:

Cálculo do módulo de z = 1 + 3i

O argumento de um número complexo, geometricamente, é o ângulo formado pelo eixo horizontal e o seguimento |z|.

Para encontrar o valor do ângulo, temos que:

O objetivo é encontrar o ângulo θ = arg z.

• Exemplo:

Encontre o argumento do número complexo: z = 2 + 2i:

Como a e b são positivos, sabemos que esse ângulo está no primeiro quadrante, então vamos calcular |z|.

Conhecendo-se o |z|, é possível calcular o seno e o cosseno.

Como, nesse caso, a e b são iguais a 2, então, ao calcularmos o senθ, encontraremos a mesma solução para o cosseno.

Conhecendo-se os valores de senθ e cosθ, ao consultar-se a tabela dos ângulos notáveis e sabendo-se que θ pertence ao primeiro quadrante, então θ pode ser encontrado em graus ou radianos, logo, conclui-se que:

Forma trigonométrica ou polar

A representação do número complexo na forma trigonométrica só é possível depois que conseguimos entender o conceito de módulo e argumento. Com base nessa representação, são desenvolvidos conceitos importantes para o estudo dos números complexos a nível mais avançado. Para realizarmos a representação trigonométrica, lembraremo-nos de sua forma algébrica z = a + bi, porém, ao analisarmos o plano complexo, temos que:

Ao substituirmos, na forma algébrica, os valores de a = |z| cos θ e b = |z| sen θ, temos que:

z = a + bi

Com z = |z| cos θ + |z| sen θ · i, colocando |z| em evidência, chegamos à fórmula da forma trigonométrica:

• Exemplo: Escreva, na forma trigonométrica, o número

Para escrevermos na forma trigonométrica, precisamos do argumento e do módulo de z.

1º passo – Cálculo de |z|

Conhecendo-se o |z|, é possível encontrar-se o valor de θ consultando-se a tabela de ângulos notáveis.

Agora é possível escrever o número z na sua forma trigonométrica com o ângulo em graus ou com o ângulo medido em radianos.

Leia também: Radiciação de números complexos na forma trigonométrica

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (UFRGS) Dados os números complexos z₁ = (2,–1) e z₂ = (3, x), sabe-se que o produto entre z₁ e z₂ é um número real. Então x é igual a:

a) -6

b) -3/2

c) 0

d) 3/2

e) 6

Resolução

Alternativa D.

Para que o produto seja um número real, então a parte imaginária é igual a zero.

Escrevendo esses números na forma algébrica, temos que:

z₁ = 2 – 1i e z₂ = 3 + xi

z₁ · z₂ = (2 – 1i) (3 + xi)

z₁ · z₂ = 6 + 2xi –3i – xi ²

z₁ · z₂ = 6 + 2xi –3i + x

z₁ · z₂ = 6+ x + (2x – 3)i

Como nosso interesse é que a parte imaginária seja igual a zero, então resolveremos 2x – 3 = 0

Questão 2 - (UECE) Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a -1, então o valor de 5i ²²⁷ + i ⁶ – i ¹³ é igual a:

a) i + 1

b) 4i –1

c) –6i –1

d) –6i

Resolução

Alternativa C.

Para resolver essa expressão, é necessário encontrar o resto de cada um dos números na divisão por 4.

227 : 4 resulta em quociente 56 e resto 3.

i ²²⁷ = i ³ = –i

6 : 4 resulta em quociente 1 e resto 2.

i ⁶ = i ² = –1

13 : 4 resulta em quociente 3 e resto 1.

i ¹³ = i¹ = i

Então temos que:

5i ²²⁷ + i ⁶ – i ¹³

5 (–i) + (–1) – i

–5i –1 – i

–6i – 1

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática