A origem de i ao quadrado igual a -1

No estudo dos números complexos deparamo-nos com a seguinte igualdade: i² = – 1.

A justificativa para essa igualdade está geralmente associada à resolução de equações do 2º grau com raízes quadradas negativas, o que é um erro. A origem da expressão i² = – 1 aparece na definição de números complexos, outro assunto que também gera muita dúvida. Vamos compreender o motivo de tal igualdade e como ela surge.

Primeiro, faremos algumas definições.

1. Um par ordenado de números reais (x, y) é chamado de número complexo.
2. Os números complexos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) são iguais se, e somente se, x₁ = x₂ e y₁ = y₂.
3. A adição e a multiplicação de números complexos são definidas por:

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂ ,  y₁ + y₂)

(x₁, y₁)*(x₂, y₂) = (x₁*x₂ – y₁*y₂ ,  x₁*y₂ + y₁*x₂)

Exemplo 1. Considere z₁ = (3, 4) e z₂ = (2, 5), calcule z₁ + z₂ e z₁*z₂.
Solução:
z₁ + z₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z₁*z₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)

Utilizando a terceira definição fica fácil mostrar que:
(x₁, 0) + (x₂, 0) = (x₁ + x₂, 0)
(x₁ , 0)*(x₂, 0) = (x₁*x₂, 0)

Essas igualdades mostram que no que diz respeito às operações de adição e multiplicação, os números complexos (x, y) se comportam como números reais. Nesse contexto, podemos estabelecer a seguinte relação: (x, 0) = x.

Usando essa relação e o símbolo i para representar o número complexo (0, 1), podemos escrever qualquer número complexo (x, y) da seguinte forma:

(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → que é a chamada de forma normal de um número complexo.

Assim, o número complexo (3, 4) na forma normal fica 3 + 4i.

Exemplo 2. Escreva os seguintes números complexos na forma normal.

a) (5, – 3) = 5 – 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i

Agora, observe que chamamos de i o número complexo (0, 1). Vejamos o que ocorre ao fazer i2.
Sabemos que i = (0, 1) e que i² = i*i. Segue que:
i² = i*i = (0, 1)*(0, 1)
Utilizando a definição 3, teremos:
i² = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0)

Como vimos anteriormente, todo número complexo da forma (x, 0) = x. Assim,
i² = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0) = – 1.
Chegamos à famosa igualdade i² = – 1.

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Equipe Brasil Escola

Números Complexos - Matemática - Brasil Escola