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Plano de Argand-Gauss (plano complexo)

Matemática

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O plano de Argand-Gauss é formado por dois eixos: um vertical (conhecido como eixo imaginário) e um na horizontal (conhecido como eixo real). Nele é possível representar geometricamente números complexos que estão na forma algébrica.

Por meio dessa representação geométrica, é possível desenvolver alguns conceitos, como o módulo e o argumento de um número complexo. Os números complexos são representados algebricamente por z = a + bi, então eles são representados por pontos (a, b), representação essa que recebe o nome de afixo.

Leia também: Representação geométrica da soma de números complexos  

Representação geométrica de números complexos

Representação de números complexos no plano de Argand-Gauss
Representação de números complexos no plano de Argand-Gauss

O plano complexo, conhecido também como plano de Argand-Gauss, nada mais é do que um plano cartesiano para números complexos. No plano de Argand-Gauss, é possível representar um número complexo como um ponto, conhecido como afixo. Com o desenvolvimento do plano complexo, há o desenvolvimento da geometria analítica para os números complexos, o que torna possível desenvolver conceitos importantes, como módulo e argumento.

Um número complexo representado em sua forma algébrica é z = a+bi, em que a é a parte real e b é a parte imaginária. Sendo assim, os números complexos são representados como um ponto (a, b). No plano de Argand-Gauss, o eixo horizontal é o eixo da parte real e o eixo vertical é o eixo da parte imaginária.

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Afixo

O ponto no plano que representa um número complexo também recebe o nome de afixo. Há três casos possíveis de representação: afixos imaginários, afixos reais e afixos imaginários puros.

  • Afixos imaginários

Um afixo é conhecido como imaginário quando o número complexo possui tanto a parte real quanto a parte imaginária diferentes de zero. Nesse caso o afixo é um ponto em qualquer um dos quatro quadrantes, dependendo dos valores de a, b e seus respectivos sinais.

Exemplo:

Veja a representação dos números complexos z1 = 2 +3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i e z4= 1 - 4i.

brasilescola.uol.com.br/matematica/definicao-geometria-analitica.htm

Veja também: Propriedades envolvendo números complexos 

  • Afixos imaginários puros

Um número complexo é conhecido como um imaginário puro, quando a sua parte real é igual a zero, ou seja, z = bi. Note que, nesse caso, a primeira coordenada é sempre zero, então vamos trabalhar com pontos do tipo (0, b). Ao marcar no plano de Argand-Gauss, um afixo imaginário puro sempre será um ponto pertencente ao eixo imaginário, ou seja, ao eixo vertical.

Exemplo:

Veja a representação dos números complexos z1 = 2i e z2= -3i.

  • Afixos reais

Um número complexo é classificado como um número real, quando a sua parte imaginária é igual a zero, ou seja, z = a. Nesse caso, a segunda coordenada é sempre zero, então vamos trabalhar com pontos do tipo (a,0), logo a parte imaginaria é zero e os afixos estão contidos no eixo real do plano complexo.

Exemplo:

Veja a representação dos números complexos z1 = 2 e z2 = -4.

Módulo de um número complexo

Ao representar um número complexo, seja P (a,b) o afixo do número complexo z = a + bi. Conhecemos como módulo do número complexo a distância do ponto P até a origem. O módulo de um número complexo z é representado por |z|. Para encontrar o valor do |z|, utilizamos o teorema de Pitágoras.

|z|² =a²+b²

Podemos representar também por:

Exemplo:

Calcule o módulo do número complexo z =  12 -5i.

|z|² = 12² + (-5)²

|z|²  144 + 25

|z|²= 169

|z|=√169

|z| =13

Acesse também: Quais são os números racionais?

Argumento de um número complexo

Conhecemos como argumento de um número complexo o ângulo θ formado pelo vetor OP e o eixo real. O argumento de um número é representado por arg (z) =  θ.

Para encontrar o ângulo, utilizamos as razões trigonométricas seno e cosseno.

Para encontrar o valor do argumento, conhecendo o seno e o cosseno, basta consultar a tabela dos valores dessas razões trigonométricas. Normalmente, em questões de vestibular sobre esse tema, o argumento é um ângulo notável.

Exemplo:

Calcule o argumento do número complexo z = 1 + i.

Primeiro vamos calcular o módulo de z.

|z|² = 1² + 1²

|z|² = 1+1

|z|² = 2

|z| = √2

Conhecendo |z|, podemos calcular o seno e o cosseno do ângulo.

O ângulo que possui seno e cosseno com os valores encontrados é o de 45º.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Qual é o argumento do número complexo z = √3+ i ?

A) 30º

B) 45º

C) 60º

D) 90º

E) 120º

Resolução

Alternativa C.

Sabemos que a = √3 e b = 1, então:

Questão 2 – No plano complexo a seguir, foram representados alguns números. Analisando o plano, podemos afirmar que são representações de números imaginários puros os pontos:

A) M, N e I.

B) P e I.

C) L e G.

D) O, I, G.

E) K, J e L.

Resolução

Alternativa B.

Para identificar um número imaginário puro no plano complexo, é necessário que ele esteja em cima do eixo vertical, que, no caso, são os pontos P e I.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Plano de Argand-Gauss (plano complexo)"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm. Acesso em 25 de outubro de 2021.

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