Propriedades envolvendo números complexos

Todos os números existentes foram criados de acordo com as necessidades humanas na época da criação, como é o caso dos números naturais, que foram criados para contagem e controle de “estoques”, e dos números irracionais, que foram estabelecidos para resolver problemas em relação às raízes. Foram justamente os problemas envolvendo raízes que deram início ao conhecimento a respeito dos números complexos.

A equação do segundo grau x² + 4x + 5 = 0 não possui raízes reais. Isso significa que, dentro do conjunto dos números reais, é impossível encontrar valores para x que igualem o primeiro termo dessa equação ao segundo. Observamos esse fenômeno a partir do início da fórmula de Bhaskara:

Δ = 4² – 4·1·5

Δ = 16 – 20

Δ = – 4

Uma vez encontrado um valor negativo para Δ, torna-se impossível prosseguir na fórmula de Bhaskara, pois ela exige que a √Δ (raiz de delta) seja calculada. Ora, sabemos que √– 4 não pode ser calculado porque não existe nenhum número real que, multiplicado por ele mesmo, tenha como resultado – 4.

Os números complexos foram criados para suprir essas necessidades. A partir de sua criação, a √– 4 pode ser desenvolvida da seguinte maneira:

√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·2² = 2√(– 1)

A √(– 1) é compreendida como um novo tipo de número. O conjunto com todos esses números é conhecido como conjunto dos números complexos e cada representante desse novo conjunto é definido da seguinte maneira: Seja A um número complexo, então,

A = a + bi, onde a e b são números reais e i = √(– 1)

Nessa definição, a é conhecido como parte real de A e b é conhecido como parte imaginária de A.

Propriedades dos números complexos

Números reais representam, em sua totalidade e geometricamente, uma reta. Os números complexos, por sua vez, representam todo um plano. O plano cartesiano utilizado para representar os números complexos é conhecido como plano de Argand-Gauss.

Todo número complexo pode ser representado no plano de Argand-Gauss como um ponto de coordenadas (a,b). A distância do ponto que representa um número complexo até o ponto (0,0) é chamada de módulo do número complexo, que é definido:

Seja A = a + bi um número complexo, o seu módulo é |A| = √a² + b²

Os números complexos também possuem um elemento inverso, chamado de conjugado. Ele é definido como:

Seja A = a + bi um número complexo,

Ā = a – bi é o conjugado desse número.

Propriedade 1: O produto de um número complexo por seu conjugado é igual à soma dos quadrados da parte real com a parte imaginária do número complexo. Matematicamente:

AĀ = a² + b²

Exemplo: Qual é o produto de A = 2 + 5i por seu conjugado?

Basta fazer o cálculo: a² + b² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29. Caso optássemos por escrever o conjugado de A e, após isso, realizar a multiplicação AĀ, teríamos:

AĀ = (2 + 5i)(2 – 5i)

AĀ = 4 – 10i + 10i + 25

AĀ = 4 + 25

AĀ = 29

Isto é, utilizando a propriedade proposta, é possível evitar um cálculo longo bem como erros no decorrer destes cálculos.

Propriedade 2: Se um número complexo A for igual ao seu conjugado, então A é um número real.

Seja A = a + bi. Se A = Ā, então:

a + bi = a – bi

bi = – bi

b = – b

Logo, b = 0

Portanto, é obrigatório que todo número complexo igual ao seu conjugado seja também um número real.

Propriedade 3: O conjugado da soma de dois números complexos é igual à soma dos conjugados desses números, isto é:

_____    _    _ 
A + B = A + B

Exemplo: Qual é o conjugado da soma de 7 + 9i e 2 + 4i?

____     ____                                     
7 + 9i + 2 + 4i = 7 – 9i + 2 – 4i = 9 – 13i

Você pode somar primeiro e depois calcular o conjugado do resultado ou fazer os conjugados primeiro e posteriormente somar os resultados.

Propriedade 4: O conjugado do produto entre dois números complexos é igual ao produto de seus conjugados, ou seja:

__     _ _
AB = A·B

Exemplo: Qual é o produto dos conjugados de A = 7i + 10 e B = 4 + 3i?

(10 + 7i)·(4 + 3i) = (10 – 7i)·(4 – 3i) = 40 – 30i – 28i – 21 = 19 – 58i

De acordo com a necessidade do exercício, é possível multiplicar primeiro e calcular o conjugado depois ou exibir os conjugados antes de realizar a multiplicação.

Propriedade 5: O produto de um número complexo A por seu conjugado é igual ao quadrado do módulo de A, ou seja:

AĀ = |A|²

Exemplo: A = 2 + 6i, então AĀ = |A|² = (√a² + b²)² = (√2² + 6²)² = 2² + 6² = 4 + 16 = 20. Perceba que não é necessário encontrar o conjugado e realizar uma multiplicação por meio da propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (conhecida como chuveirinho).

Propriedade 6: O módulo de um número complexo é igual ao módulo de seu conjugado. Em outras palavras:

|A| = |Ā|

Exemplo: Calcule o módulo do conjugado do número complexo A = 3 + 4i.

Observe que não é necessário encontrar o conjugado, já que os módulos são iguais.

|A| = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Caso fosse calculado |Ā|, a única mudança seria um b negativo elevado ao quadrado, que tem resultado positivo. Dessa forma, o resultado ainda seria raiz de 25.

Propriedade 7: Se A e B são números complexos, então o produto dos módulos de A e de B é igual ao módulo do produto de A por B, ou seja:

|AB| = |A||B|

Exemplo: Sejam A = 6 + 8i e B = 4 + 3i, quanto vale |AB|?

Note que não é necessário multiplicar os números complexos antes de calcular o módulo. É possível calcular o módulo de cada número complexo separadamente e depois apenas multiplicar os resultados.

|A| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10

|B| = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

|AB| = |A||B| = 10·5 = 50

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática