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Fórmulas de Moivre

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Consideremos o número complexo não nulo z = p*(cosӨ + i*senӨ) e o número n Є N, dessa forma escrevemos:

zn = z*z*z*...*z ou zn = p*p*p*...*p *(cosӨ + i*senӨ)* (cosӨ + i*senӨ).... (cosӨ + i*senӨ), daí, zn = pn*[cos(Ө+Ө+Ө+...+Ө) + i*sen(Ө+Ө+Ө+...+Ө)], onde concluímos que:

zn = pn *[cos(nӨ) + i*sen(nӨ)]

Essa expressão é um recurso muito importante nas situações envolvendo a expressão (a + bi)n, caso não existisse, deveríamos usar o binômio de Newton, o que acarretaria em cálculos trabalhosos.

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Obs.: para calcularmos a potência de um número complexo utilizando a 1º fórmula de Moivre, devemos escrever o complexo na sua forma trigonométrica.

Exemplo 1
Dado o complexo z = – 2 – 2i, calcule z10.


Exemplo 2
Dado o número complexo z = –1 –√3i, determine z15.


Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Fórmulas de Moivre"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formulas-de-moivre.htm. Acesso em 16 de agosto de 2022.

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