Área do triângulo

A área de um triângulo é o valor obtido calculando-se metade da área do paralelogramo, que, por sua vez, é o produto da base pela altura. Logo, a área do triângulo é dada por:

A = b·h
      2

Veja uma breve demonstração dessa fórmula:

Área do triângulo

Observando a área do paralelogramo, é possível definir a área do triângulo. Para tanto, observe que, ao desenhar uma diagonal no paralelogramo, obtemos dois triângulos distintos e congruentes. Isso acontece porque os lados opostos de um paralelogramo são congruentes, logo, os triângulos formados são congruentes.

Sendo assim, é claro que as áreas desses triângulos são iguais, uma vez que eles são congruentes.

Paralelogramo dividido em dois triângulos por uma de suas diagonais

Como possuem áreas iguais, pode-se concluir que a área do triângulo (A_T) é igual à metade da área do paralelogramo:

A_T = A = b·h
        2      2 

Essa demonstração vale para qualquer triângulo, pois todo triângulo pode ser usado para construir um paralelogramo.

Observe apenas que a altura do triângulo é a distância entre o lado escolhido como base e o terceiro vértice do triângulo, aquele que não está contido na base. Assim, a altura é um segmento de reta que sempre forma com a base do triângulo um ângulo de 90°.

Exemplo:

1º) Calcule a área de um triângulo cuja base mede 25 cm e a altura mede 10 cm.

Solução: Basta substituir os valores dados na fórmula para o cálculo da área do triângulo. Outra observação importante é que não é necessário ter uma figura do triângulo para realizar esse cálculo.

A = 25·10
       2

A = 250
      2

A = 125 cm²

2º) A base de um triângulo equilátero mede 60 cm. Calcule a área desse triângulo.

Solução: Um triângulo equilátero possui todos os lados com as medidas iguais e, além disso, sua altura também é mediana e bissetriz com relação a qualquer lado. Sendo assim, a altura de um triângulo equilátero divide a base exatamente ao meio, gerando duas partes de 30 cm cada. É possível notar também que essa altura determina outros dois triângulos retângulos. No caso desse exercício, um dos catetos mede 30 cm, e a hipotenusa mede 60 cm. O outro cateto desse triângulo é igual à altura do triângulo equilátero, que é necessária para calcular a sua área.

Para descobrir o comprimento desse cateto, usaremos o Teorema de Pitágoras. Observe:

x² + 30² = 60²

x² + 900 = 3600

x² = 3600 – 900

x = 2700

x = 51,9

Agora vamos calcular a área do triângulo cuja base mede 60 cm e a altura mede 51,9 cm.

A = bh
      2

A = 60·51,9
      2

A = 3114
      2

A = 1557 cm²

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática