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Área do triângulo equilátero

A área do triângulo equilátero é calculada por meio de uma fórmula que utiliza a medida do lado desse triângulo.

Fórmula da área do triângulo equilátero.
A área do triângulo equilátero pode ser calculada conhecendo apenas a medida do seu lado.
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A área do triângulo equilátero pode ser calculada por uma fórmula específica desse tipo de triângulo. O triângulo é equilátero quando ele possui todos os lados com a mesma medida. Diferentemente da fórmula para calcular a área de um triângulo qualquer, que exige a medida da base e da altura do triângulo, a área do triângulo equilátero pode ser calculada conhecendo somente a medida do lado do triângulo equilátero. Para calcular a área do triângulo equilátero, multiplicamos o quadrado da medida do lado pela raiz de 3 dividido por 4.

Leia também: Área do trapézio — como calcular?

Tópicos deste artigo

Resumo sobre área do triângulo equilátero

  • O triângulo é equilátero quando ele possui os três lados congruentes, o que faz com que ele também tenha os seus ângulos congruentes.

  • A área do triângulo equilátero pode ser calculada conhecendo somente a medida do seu lado.

  • A fórmula para calcular da área do triângulo equilátero é:

\(A=\frac{l^2 \sqrt3}4\)

Videoaula sobre área de um triângulo equilátero

Fórmula da área do triângulo equilátero

O triângulo é classificado como equilátero quando ele possui todos os lados com a mesma medida. Entre as consequências de possuir as mesmas medidas, existe também o fato de que os três ângulos são congruentes, medindo 60°.

Devido a essas características, é possível obter uma fórmula que serve para calcular a área do triângulo equilátero conhecendo apenas a medida do seu lado. A fórmula da área do triângulo equilátero é:

\(A=\frac{l^2 \sqrt3}4\)

  • l → medida do lado do triângulo equilátero.

  • A → área.

Como calcular a área do triângulo equilátero?

Para calcular a medida da área do triângulo equilátero, basta substituir na fórmula o valor de l pela medida do lado do triângulo.

  • Exemplo:

Calcule a área do triângulo equilátero que possui lados medindo 8 cm.

Resolução:

Para calcular a área do triângulo equilátero, faremos a substituição de l por 8:

\(A=\frac{8^2 \sqrt3}4\)

Após realizar a substituição, calcularemos o quadrado de 8:

\(A=\frac{64 \sqrt3}4\)

Como 64 é divisível por 4, faremos a divisão:

\(A=16\sqrt3\)

Como não temos uma aproximação para \(\sqrt3\), podemos afirmar que a área desse triângulo equilátero é igual a \(16\sqrt3\ cm^2\).

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  • Exemplo 2:

Utilizando 1,7 como aproximação para \(\sqrt3\), encontre a área do triângulo equilátero:

Ilustração de um triângulo equilátero com lado medindo 5 cm, que será utilizado para calcular sua área.

Resolução:

Substituindo l por 5 e \(\sqrt3\) por 1,7, temos que:

\(A=\frac{5^2⋅1,7}4\)

\(A=\frac{25⋅1,7}4\)

\(A=\frac{42,5}4\)

\(A=10,625\ cm^2\)

Veja também: Área do círculo — como calcular?

Demonstração da fórmula da área do triângulo equilátero

Para compreender a demonstração da fórmula da área do triângulo equilátero, é importante saber um pouco sobre a Trigonometria e a aplicação da razão seno. Para fazer a demonstração, primeiramente construiremos um triângulo equilátero de lado l:

Ilustração de um triângulo equilátero com lado l, que será utilizado na demonstração da fórmula da área do triângulo equilátero.

Agora, a partir do vértice C, traçaremos a altura do triângulo em relação ao vértice C, que no triângulo equilátero é também a mediana e a bissetriz do triângulo.

 Traçamento da altura do triângulo equilátero para demonstração da fórmula da área do triângulo.

Escolhendo qualquer um dos dois ângulos da base e aplicando o seno desse ângulo, temos que:

\(sen(60°)=\frac{h}l\)

Ao consultar a tabela dos ângulos notáveis, descobrimos que o seno de 60° é igual a \(\frac{\sqrt3}{2}\):

\(\frac{\sqrt3}{2}=\frac{h}{l}\)

Então, isolando a altura:

\(h=\frac{l\sqrt3}2\)

Encontramos uma fórmula para a altura em função do lado. Sabemos que a área de um triângulo é o produto entre a base e a altura divido por 2. A base do triângulo equilátero é o seu lado, que mede l, e a altura foi encontrada acima, então temos que:

\(A=\frac{b⋅h}2\)

\(A=\frac{l⋅\frac{l\sqrt3}2}2\)

\(A=\frac{l^2 \sqrt3}{2}⋅\frac{1}2\)

\(A=\frac{l^2 \sqrt3}4\)

Fica assim demonstrada a fórmula da área do triângulo equilátero.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Raul Rodrigues de Oliveira Graduado em Matemática pela Universidade Federal de Goiás. Atua como professor do programa PIC Jr. (OBMEP) e como professor preceptor do programa Residência Pedagógica. Também é professor concursado da Seduc-GO, gestor escolar e produtor de conteúdo didático.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Área do triângulo equilátero"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-um-triangulo-equilatero.htm. Acesso em 20 de abril de 2024.

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