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Triângulo isósceles

Triângulo isósceles possui dois lados congruentes, e, por isso, ele tem propriedades específicas e importantes de serem aprendidas.

Triângulo isósceles
Triângulo isósceles
Crédito da Imagem: Shutterstock
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Triângulo isósceles é aquele que possui dois lados congruentes. Classificamos os triângulos de acordo com as suas características, e uma das classificações leva em consideração a medida dos seus lados. Nesse caso, além do tipo isósceles, existem mais dois: o escaleno, triângulo que possui todos os lados com medidas distintas; e o equilátero, triângulo que possui todos os lados congruentes.

No triângulo isósceles, os lados congruentes são conhecidos como oblíquos, e o outro lado é conhecido como base. O triângulo isósceles possui propriedades específicas, com a sua altura sendo a mediana da base e a bissetriz do ângulo, além disso, os ângulos da base são sempre congruentes. Para calcular área e perímetro de um triângulo isósceles, utilizamos a fórmula para área de um triângulo qualquer e o perímetro continua sendo a soma de todos os lados.

Leia mais: Geometria — é o estudo das formas dos objetos presentes na natureza considerando suas posições, relações e propriedades

Tópicos deste artigo

Resumo sobre triângulo isósceles

  • É aquele que possui dois lados congruentes (com a mesma medida).

  • Nele, os ângulos da base são sempre congruentes.

  • Sua altura é também a sua mediana.

Videoaula sobre triângulo isósceles

Triângulo isósceles

O triângulo é um polígono que possui muita importância no dia a dia, sendo amplamente estudado. Ele possui três lados e pode ser classificado como isósceles quando possui dois lados congruentes, ou seja, quando há dois lados com a mesma medida.

Triângulo com os lados AB e BC e base AC marcados
Nesse triângulo, os lados AB e BC são congruentes.

Nesse triângulo, os lados AB e BC possuem a mesma medida, o que faz com que ele seja isósceles, além disso, em um triângulo isósceles, o lado não congruente é conhecido como base, que, no caso, está sendo representada pelo lado AC.

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Propriedades do triângulo isósceles

O triângulo isósceles possui duas propriedades muito úteis para resolução de problemas envolvendo esse tipo de figura.

1ª propriedade: em um triângulo isósceles, os ângulos da base são sempre congruentes.

Triângulo isósceles com ângulos da base marcados
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são sempre congruentes.

Vejamos, a seguir, uma aplicação dessa propriedade:

Exemplo: um triângulo isósceles possui o ângulo oposto à base medindo 70º, encontre o valor dos seus outros dois ângulos.

Resolução:

Como o triângulo é isósceles, então os ângulos da base medem x. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º, então, temos que:

x + x + 70º = 180º

2x = 180º – 70º

2x = 110

x = 110 : 2

x = 55°

Dessa forma, os ângulos da base medem 55° cada.

2ª propriedade: quando o triângulo é isósceles, a altura relativa à base do triângulo é também a mediana e a bissetriz.

Triângulo isósceles divido por sua altura, que também é a bissetriz e a mediana

O segmento BD é a altura do triângulo, além disso, ele é bissetriz, pois divide o ângulo B em dois ângulos congruentes, e também é mediana, pois D é ponto médio do lado AC.

3ª propriedade: a altura divide o triângulo em dois triângulos congruentes.

Analisando a imagem anterior, é possível perceber que os triângulos ADB e CDB são congruentes pelo caso lado, lado e lado, logo, ao traçar a altura, dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes.

Leia mais: Como identificar a mediana, a bissetriz e a altura de um triângulo

Fórmulas do triângulo isósceles

A seguir, veremos as fórmulas para o cálculo de área e perímetro do triângulo isósceles.

  • Perímetro do triângulo isósceles

O perímetro de um triângulo isósceles, assim como em qualquer polígono, é a soma dos seus lados. Como dois lados do triângulo são congruentes, temos que:

P = 2l + b


Exemplo: um triângulo isósceles possui lados oblíquos medindo 15 cm e base medindo 10 cm, então, qual é o seu perímetro?

Resolução:

P = 2l + b

P = 2 · 15 + 10

P = 30 + 10

P = 40 cm

  • Área do triângulo isósceles

O cálculo da área do triângulo isósceles não se difere em relação à área dos outros triângulos, então, ela é calculada pelo produto entre a base e a altura dividido por 2.

Fórmula da área do triângulo

Exemplo: calcule a área do triângulo isósceles que possui altura igual a 15 cm e base igual a 8 cm.

Resolução:

Calculando a área, temos que b = 8 e h = 15.

Cálculo da área de um triângulo isósceles

Classificação dos triângulos

Quando analisamos os lados dos triângulos, existem três classificações possíveis:

  • Equilátero: quando todos os seus lados são congruentes.

  • Escaleno: quanto todos os seus lados possuem medidas distintas.

  • Isósceles: quando há dois lados congruentes.

Outra classificação possível para o triângulo é quando analisamos seus ângulos. Assim, um triângulo pode ser:

  • Acutângulo: quanto todos os seus ângulos internos são agudos.

  • Retângulo: quando um dos seus ângulos internos é reto.

  • Obtusângulo: quando um dos seus ângulos internos é obtuso.

Caso queira saber mais sobre o tema deste tópico, leia: Classificação dos triângulos.

Exercícios resolvidos sobre triângulo isósceles

Questão 1

Dado o triângulo isósceles a seguir, a sua área é igual a:

Triângulo isósceles de lados de 15 cm e base de 18 cm

A) 216 cm²

B) 182 cm²

C) 135 cm²

D) 108 cm²

E) 96 cm²

Resolução:

Alternativa D

Para calcular a área, é necessário, antes, descobrir a medida da altura h do triângulo. Para isso, aplicaremos o teorema de Pitágoras no triângulo ACD.

15² = 9² + h²

225 = 81 + x²

225 – 81 = h²

144 = h²

h² = 144

h = √144

h = 12

Conhecendo a altura, 12 cm, e sabendo que a base mede 18 cm, é possível calcular a área:

Cálculo da área de um triângulo isósceles cuja base mede 18 cm e altura, 12 cm

Questão 2

Um triângulo isósceles possui o ângulo do vértice que mede o triplo do ângulo da base, então, a medida do ângulo da base é:

A) 36°

B) 42°

C) 45°

D) 50°

E) 62°

Resolução:

Alternativa A

Sabemos que a soma dos ângulos internos é 180°.

Seja x a medida do ângulo da base, temos que:

x + x + 3x = 180°

5x = 180º

x = 180 : 5

x = 36°

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Raul Rodrigues de Oliveira Graduado em Matemática pela Universidade Federal de Goiás. Atua como professor do programa PIC Jr. (OBMEP) e como professor preceptor do programa Residência Pedagógica. Também é professor concursado da Seduc-GO, gestor escolar e produtor de conteúdo didático.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Triângulo isósceles"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/o-triangulo-isosceles-suas-particularidades.htm. Acesso em 20 de julho de 2024.

De estudante para estudante


Videoaulas


Lista de exercícios


Exercício 1

Existem duas maneiras de classificar um triângulo, uma delas é analisando os seus lados e a outra é analisando os seus ângulos. Quando classificamos o triângulo analisando os seus lados, ele é conhecido como isósceles quando:

A) possui todos os lados congruentes.

B) possui todos os lados não congruentes.

C) possui dois lados congruentes.

D) possui um dois lados perpendiculares.

Exercício 2

Um triângulo isósceles possui o ângulo da base medindo x + 20º e 2x – 8º, então, o ângulo do vértice desse triângulo mede:

A) 28°

B) 48°

C) 64°

D) 84°

E) 96°

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