Números reais

O conjunto dos números reais é formado pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Existem várias propriedades a respeito dos números reais, que são extensões das propriedades dos números racionais. Essas propriedades estão relacionadas com a ordem dos números reais e com o estudo das operações matemáticas básicas aplicadas aos elementos desse conjunto.

A definição dos números reais depende das definições dos conjuntos dos números racionais e irracionais, que, por sua vez, dependem da definição dos números inteiros. Dessa maneira, todos os números geralmente estudados até o final do Ensino Fundamental e início do Ensino Médio são os números reais.

De posse da definição de números reais, discutiremos as propriedades mais importantes relacionadas com esse conjunto numérico.

Propriedades do conjunto dos números reais

As propriedades a seguir são decorrentes da definição dos números reais e também da inclusão das operações “adição” e “multiplicação” entre os elementos desse conjunto.

→ O conjunto dos números reais é um conjunto completo

Existe uma relação feita entre o conjunto dos números reais e a reta numérica, que é construída da seguinte maneira: para cada número real, existe um e apenas um ponto representando-o na reta numérica. É possível mostrar que a reta não contém nenhum “furo”, isto é, ponto que não represente número real algum. Portanto, o conjunto dos números reais é completo.

→ O conjunto dos números reais é um conjunto ordenado

Ainda avaliando a reta numérica, comparando dois números reais quaisquer, aquele que estiver mais à esquerda é menor do que aquele que estiver mais à direita. Além disso, se estiverem no mesmo ponto, serão iguais. Essa é a ordenação do conjunto dos números reais representada na reta numérica.

Propriedades operatórias dos números reais

Dados os números reais “a”, “b” e “c”, as seguintes propriedades operatórias são válidas:

1 – Associatividade:

a·(b·c) = (a·b)·c

a + (b + c) = (a + b) + c

2 – Comutatividade:

a·b = b·a

a + b = b + a

3 – Existência de elemento neutro único para a soma e para a multiplicação:

a + 0 = a

a·1 = a

4 – Existência de elemento inverso único para a soma e para a multiplicação:

a + (– a) = 0

a· 1 = 1
a  

5 – Distributividade:

a · (b + c) = a·b + a·c

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática