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Números inteiros

O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos números naturais, ou seja, agrupa os números naturais e os seus opostos, ou seja, os números negativos.

Exemplos de números inteiros aparecem em seis dados lançados.
Os números inteiros são os números que não possuem parte decimal.
Crédito da Imagem: Shutterstock
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Os números inteiros são os números que não possuem parte decimal. Esse conjunto é formado pelos números naturais e os números opostos aos naturais, ou seja, os números negativos, logo um número é inteiro se ele não apresenta parte decimal. Eles podem ser representados desta forma:

ℤ = {... - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Os números inteiros também podem ser representados na reta numérica. Nesse caso, o zero fica no centro; à direita do zero, os números positivos; à esquerda, os números negativos.

Leia também: Quais são os conjuntos numéricos?

Tópicos deste artigo

O que são números inteiros?

Os números inteiros surgiram a partir de uma ampliação do conjunto dos números naturais, pois só os números naturais não eram suficientes para resolver certas situações cotidianas, passando a ser necessário utilizar os números negativos opostos aos números naturais, como o – 1, – 2, –3 e assim sucessivamente.

Os números inteiros, conhecidos também como conjunto dos números inteiros, representados pela letra grega ℤ, são os números positivos e negativos que não possuem nenhuma parte decimal. De modo geral, podemos listar os números inteiros deste modo:

 = {... - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

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Representação dos números inteiros na reta

Podemos representar os números inteiros na reta. Cada número inteiro é um ponto da reta. No centro da reta, está o número 0; à direita, os inteiros positivos; à esquerda, os inteiros negativos.

Representação dos números inteiros na reta.
Representação dos números inteiros na reta.

Comparação de dois números inteiros

Quando comparamos dois números inteiros, podemos separar quatro casos:

1. Comparando um número inteiro com o zero, sabemos que o zero é maior que qualquer número positivo e menor que qualquer número negativo.

  • 0 > – 5 (Zero é maior que menos cinco.)
  • –2 < 0 (Menos dois é menor que zero.)
  • 25 > 0 (Vinte e cinco é maior que zero.)
  • 0 < 10 (Zero é menor que dez.)

2. Um número positivo é sempre maior que um número negativo, e um número negativo é sempre menor que um número positivo. 

Exemplos:

  • 5 > – 8 (Cinco é maior que menos oito.)
  • 12 > – 4 (Doze é maior que menos quatro.)
  • – 1 < 1 (Menos um é menor que um.)
  • – 9 < 4 (Menos nove é menor que quatro.)

3. Quando comparamos dois números positivos, o maior deles é o que está mais distante do zero.

Exemplos:

  • 5 > 3 (Cinco é maior que três.)
  • 3 > 2 (Três é maior que dois.)
  • 4 < 9 (Quatro é menor do que nove.)
  • 20 < 50 (Vinte é menor que cinquenta.)

4. Quando comparamos dois números negativos, o maior deles é o que está mais próximo do zero.

Exemplos:

  • –12 < – 9 (Menos doze é menor que menos nove.)
  • – 42 < – 30 (Menos quarenta e dois é menor que menos trinta.)
  • – 1 > – 5 (Menos um é maior que menos cinco.)
  • – 16 > – 20 (Menos dezesseis é menor que menos vinte.)

Leia também: Números racionais — a ampliação do conjunto dos números inteiros

Subconjuntos dos números inteiros ()

Os subconjuntos dos números inteiros são:

  • *: são os números inteiros, exceto o zero.

ℤ* = {..., – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, 4, ...}

  • +: são os números inteiros não negativos.

ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

  • ℤ_: são os números inteiros não positivos.

ℤ_= {..., – 4, – 3, – 2,-1, 0}

  • ℤ*+: são os números inteiros não negativos e sem o zero.

ℤ*+ = {1,2,3,4, 5...}

  • ℤ*_: são os números inteiros, com exceção dos positivos e do zero.

ℤ*_= {..., – 4, – 3, – 2, – 1}

Operações com números inteiros

⇒ Adição de números inteiros

A adição de números inteiros pode ser separada em dois casos: quando ambos os números são positivos ou quando ambos são negativos. Ao contrário da multiplicação e da divisão, a adição e subtração não requerem a aplicação das regras do "jogo de sinais".

No primeiro cenário, quando os números têm o mesmo sinal, basta somar as parcelas e manter o sinal.

Exemplos:

  • +7 + 3 = 10
  • – 5 + (– 2) = – 7

Agora, no segundo cenário, quando os números têm sinais opostos, subtraímos e preservamos o sinal do número com maior valor absoluto.

Exemplos:

  • – 8 + 11 = +3 (porque 11 – 8 = 3, e o valor absoluto de 11 é maior que o de 8, então a resposta é positiva).
  • +6 + (– 9) = – 3 (porque 9 – 6 = 3, e o valor absoluto de 9 é maior que o de 6, então a resposta é negativa).

⇒ Subtração de números inteiros

Para efetuar subtrações, as regras são semelhantes às usadas na adição, porém, antes de tudo, devemos escrever o oposto da segunda parcela.

Exemplos:

  • + 6 – (+ 3)

Para resolver, temos que – (+ 3) é o mesmo que calcular o inverso de +3, ou seja –3.

+ 6 – 3 = + 3

Então podemos concluir que + 6 – (+ 3) = 3.

  • 9 – (– 5)

Temos que – (– 5) é o oposto de – 5, o que resulta em +5. Em seguida, realizamos a operação:

9 + 5 = 14

Então podemos concluir que 9 – (– 5) = 14.

⇒ Multiplicação e divisão de números inteiros

Tanto na multiplicação quanto na divisão entre dois números inteiros, é necessário fazer jogo de sinal e posteriormente realizar a operação como ela é feita entre números naturais.

Veja a tabela com o jogo de sinais a seguir:

+

+

=

+

=

+

+

=

+

=

Em resumo, quando os sinais forem iguais, a resposta será positiva; quando os sinais forem diferentes, a resposta será negativa.

Exemplos:

  • (– 6) × (– 7) = + 42 (Ambos negativos, então sinais iguais e produto positivo.)
  • (– 5) × (+ 4) = – 20 (Números têm sinais opostos, logo o produto é negativo.)
  • (+ 8) × (– 3) = – 24 (Números têm sinais opostos, logo o produto é negativo.)
  • (+ 9) × (+ 2) = + 18 (Ambos positivos, então sinais iguais e produto positivo.)
  • (– 16) ÷ (– 4) = + 4 (Ambos negativos, então sinais iguais e quociente positivo.)
  •  (– 20) ÷ (+5) = – 4 (Números têm sinais opostos, logo o quociente é negativo.)
  • (+ 15) ÷ (– 3) = – 5 (Números têm sinais opostos, logo o quociente é negativo.)
  • (+36) ÷ (+6) = +6 (Ambos positivos, então sinais iguais e quociente positivo)

Leia também: Números reais — o conjunto que engloba os números racionais e irracionais

Exercícios resolvidos sobre números inteiros

Questão 1

No dia 05, Kárita recebeu o seu salário, de R$ 3500,00. Nesse mesmo dia, ela pagou a escola do seu filho, que lhe custa R$ 615,00. Posteriormente, ela fez as compras do supermercado e gastou um total de R$ 555,00. Depois disso, no dia 10, ela pagou o condomínio, que custa R$ 310,00. Quanto ainda resta do seu salário?

A) R$ 3000,00

B) R$ 2020,00

C) R$ 1950,00

D) R$ 1860,00

E) R$ 1710,00

Resolução:

Alternativa B.

3500 – 615 – 555 – 310 = 2020

Questão 2

Analise as expressões numéricas a seguir que envolvem números inteiros:

I.  (– 3 + 4) × 2

II. (– 6 – 4) : 5

III. – 3 × (– 5) + 4

IV. 8 : (-2) – 1

Tem como resultado um número inteiro negativo:

A) somente I.

B) somente II.

C) somente I e II.

D) somente II e IV.

E) somente III e IV.

Resolução:

Alternativa D.

I.  (– 3 + 4) × 2 = 1× 2 = 2

II. (– 6 – 4) : 5 = – 10 : 5 = – 2

III. – 3 × (– 5) + 4 = +15 + 4 = 19

IV. 8 : (-2) – 1 = – 4 – 1 = – 5

Fontes:

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos da Matemática Elementar, Volume 1, Funções, São Paulo: Editora Atual, 8ª Edição, 2004

Escritor do artigo
Escrito por: Raul Rodrigues de Oliveira Graduado em Matemática pela Universidade Federal de Goiás. Atua como professor do programa PIC Jr. (OBMEP) e como professor preceptor do programa Residência Pedagógica. Também é professor concursado da Seduc-GO, gestor escolar e produtor de conteúdo didático.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Números inteiros"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-inteiros.htm. Acesso em 18 de maio de 2024.

De estudante para estudante


Videoaulas


Lista de exercícios


Exercício 1

(FGV – 2006) Pedro tirou menos de uma centena de fotos da festa de comemoração ao seu aniversário e quer colocá-las todas num álbum de 20 páginas. Em cada página desse álbum cabem, no máximo, 10 fotos. Inicialmente, Pedro tentou colocar 6 fotos em cada página. Ao final, depois de preenchidas algumas páginas do álbum, ficou sobrando uma foto. Em nova tentativa, dispôs 7 fotos por página e ainda assim sobrou uma foto. Finalmente, Pedro conseguiu colocar todas as fotos, de modo que cada página contivesse o mesmo número de fotos. Quantas páginas do álbum Pedro preencheu? 

a) 9

b) 17

c) 18

d) 19

e) 20

Exercício 2

(UFMT MG – 2006) XYZ4 e X4YZ representam dois números inteiros de quatro algarismos. Se X4YZ excede XYZ4 em 288 unidades, então Z-Y é igual a:

a) -3

b) -1

c) 1

d) 3

e) 5