PUBLICIDADE
O conjunto dos números primos é objeto de estudo na matemática desde a Grécia Antiga. Euclides, em seu grande trabalho “Os elementos”, já discutia sobre o assunto conseguindo demonstrar que esse conjunto é infinto. Como sabemos, os números primos são aqueles que possuem como divisor o número 1 e eles mesmos, assim, encontrar números primos muito grandes não é uma tarefa fácil, e o crivo de Eratóstenes facilita esse encontro.
Tópicos deste artigo
- 1 - Como saber quando um número é primo?
- 2 - Crivo de Eratóstenes
- 3 - Decomposição em fatores primos
- 4 - Exercícios resolvidos
Como saber quando um número é primo?
Sabemos que um número primo é aquele que possui como divisor o número 1 e ele mesmo, sendo assim, um número que, em sua lista de divisores, possuir números além do 1 e de si próprio não será primo, veja:
Ao listar os divisores de 11 e 30, temos:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Veja que o número 11 possui somente o número 1 e a si próprio como divisores, logo, o número 11 é um número primo. Agora, veja os divisores do número 30, ele possui, além do número 1 e de si mesmo, os números 2, 3, 5, 6 e 10 com divisores. Portanto, o número 30 não é primo.
→ Exemplo: Liste os primos menores que 15.
Para isso, listaremos os divisores de todos os números compreendidos entre 2 e 15.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Desse modo, os primos menores que 15 são:
2, 3, 5, 7, 11 e 13
Convenhamos que essa tarefa não seria muito agradável, por exemplo, se fôssemos escrever todos os primos entre 2 e 100. Para evitá-la, aprenderemos a usar, no próximo tópico, o crivo de Eratóstenes.
Crivo de Eratóstenes
O crivo de Eratóstenes é uma ferramenta que tem por objetivo facilitar a determinação de números primos. O crivo consiste em quatro passos, e é necessário, para compreendê-los, ter em mente os critérios de divisibilidade. Antes de iniciarmos o passo a passo, devemos criar uma tabela do número 2 até o número desejado, já que o número 1 não é primo. Então:
→ Passo 1: Do critério de divisibilidade por 2, temos que os números pares são todos divisíveis por ele, ou seja, o número 2 aparecerá na lista de divisores, logo, esses números não serão primos e devemos excluí-los da tabela. São eles:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Passo 2: Do critério de divisibilidade por 3, sabemos que um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos também o é. Assim, devemos excluir esses números da tabela, já que eles não são primos pelo fato da existência de um número além do 1 e dele próprio na listagem de divisores. Assim, devemos excluir os números:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Passo 3: Do critério de divisibilidade por 5, sabemos que todos os números terminados em 0 ou 5 são divisíveis por 5, logo, devemos excluí-los da tabela.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Passo 4: De modo análogo, devemos excluir os números que são múltiplos de 7 da tabela.
14, 21, 28, …, 546, …
– Conhecendo o crivo de Eratóstenes, vamos determinar os primos entre 2 e 100.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
|
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
|
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
|
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
|
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
|
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
|
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ Não são primos
→ Números primos
Assim, os números primos entre 2 e 100 são:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Leia também: Cálculo MMC e MDC: como fazer?
Decomposição em fatores primos
A decomposição em fatores primos é conhecida formalmente como teorema fundamental da aritmética. Esse teorema afirma que qualquer número inteiro diferente de 0 e maior que 1 pode ser representado pelo produto de números primos. Para determinar a forma fatorada de um número inteiro, devemos realizar sucessivas divisões até que cheguemos ao resultado igual a 1. Veja o exemplo:
→ Determine a forma fatorada dos números 8, 20 e 350.
Para fatorar o número 8, devemos dividi-lo pelo primeiro número primo possível, no caso, por 2. Em seguida, realizamos outra divisão também pelo primo que seja possível, esse processo é repetido até que cheguemos ao número 1 como resposta da divisão. Veja:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Portanto, a forma fatorada do número 8 é 2 · 2 · 2 = 23. A fim de facilitar esse processo, adotaremos o seguinte método:
Portanto, o número 8 pode ser escrito como: 23.
→ Para fatorar o número 20, utilizaremos o mesmo método, ou seja: dividi-lo por números primos.
Assim, o número 20, em sua forma fatorada, é: 2 · 2 · 5 ou 22 · 5.
→ De maneira análoga, faremos com o número 350.
Portanto, o número 350, em sua forma fatorada, é: 2 · 5 · 5 · 7 ou 2 · 52 · 7.
Veja também: Notação científica: para que serve?
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Simplifique a expressão:
Solução
Primeiramente, vamos fatorar a expressão a fim de facilitar.
Desse modo, 1024 = 210, e, portanto, podemos substituir um pelo outro na expressão do exercício. Assim:
