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O que é dízima periódica e fração geratriz?

O que é Matemática?

O que é dízima periódica e fração geratriz? A primeira é um decimal em que há uma repetição infinita de alguma sequência de números, e o segundo é a fração que o gerou.
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Uma dízima periódica é um número racional que, em sua forma decimal, a partir de alguma casa, passa a repetir uma sequência de algarismos infinitamente. Essa sequência de algarismos repetidos é chamada de período.

São exemplos de dízimas periódicas:

1,3333…

2,45232323…

21,987987987…

Algumas dízimas periódicas apresentam alguns algarismos antes do início do período. Esses algarismos são conhecidos como antiperíodo da dízima periódica. O número 25,898123123123…, por exemplo, é uma dízima periódica, seu período é 123 e seu antiperíodo é 898.

Vale lembrar que os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração, ou seja, todo número racional pode ser compreendido como o resultado da divisão entre dois números inteiros, e o denominador dessa fração nunca pode ser zero. Sendo assim, deve existir uma forma de escrever a dízima periódica na forma da fração que a gerou: a fração geratriz.

Fração geratriz

Os cálculos feitos para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica podem ser divididos em dois casos: o primeiro, no qual a parte inteira da dízima é igual a zero, e o segundo, cuja parte inteira da dízima é um número qualquer diferente de zero.

Dízima periódica simples

Uma dízima periódica simples é aquela que não possui antiperíodo. Para escrevê-la na forma de fração, observe o seguinte exemplo. Seja x = 0,282828… Perceba que o período é composto por dois algarismos: 2 e 8. Assim, multiplicaremos essa igualdade por 100 (que possui dois zeros). Se o período possuísse três algarismos, multiplicaríamos a igualdade por 1000 (que possui três zeros), e assim por diante.

Após isso, construa o seguinte sistema:

x = 0,282828…

100x = 28,282828…

Subtraindo a primeira equação da segunda, teremos:

100x = 28,282828…

– x = 0,282828…
99x = 28

Resolvendo a equação resultante, teremos:

99x = 28

x = 28
      99

Essa é a fração geratriz da dízima 0,282828…

Parte inteira diferente de zero

Quando a parte inteira da fração não é igual a zero, poderemos proceder da seguinte maneira:

1 – Escrever a dízima como uma soma de sua parte inteira com sua parte decimal;

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2 – Encontrar a fração geratriz da parte decimal;

3 – Somar a parte inteira com a fração geratriz encontrada.

Exemplo:

1,356356356… = 1 + 0,356356356…

Realizando o procedimento anterior, encontraremos:

1,356356356… = 1 + 356
                                999

1,356356356… = 999 + 356
                          999    999

1,356356356… = 1355
                          999

Método prático

Se a dízima tiver parte inteira igual a zero, faça o seguinte:

1 – Observe a quantidade de algarismos no período. Suponha que existem 4.

2 – Escreva uma fração que contenha o período no numerador e 9999 no denominador. Observe que a quantidade de 9 é exatamente igual à quantidade de algarismos no período.

Exemplo: 0,98969896…

O período dessa dízima é 9896. São quatro algarismos no período, então, a fração geratriz é:

9896
9999

Dízima periódica composta

Uma dízima periódica composta é aquela que possui antiperíodo. Exemplo: 0,346252525…

Para encontrar a fração geratriz desse tipo de dízima pelo método prático, faça o seguinte:

1 – Observe a quantidade de algarismos do período e do antiperído. No número apresentado, o antiperíodo possui três algarismos: 346 e o período possui dois: 25.

2 – No numerador da fração geratriz, escreva o número formado pelo antiperíodo seguido do período (nessa ordem) e subtraia dele o número formado apenas pelo antiperíodo. No exemplo apresentado, teremos no numerador: 34625 – 346 = 34279.

3 – O número que deverá ser colocado no denominador é formado da seguinte maneira: “Noves”, na mesma quantidade de algarismos do período, seguidos de zeros, na mesma quantidade de algarismos do antiperíodo. No exemplo dado, a fração geratriz terá o denominador: 99000.

Logo, a fração geratriz desse exemplo é:

34279
99000

Caso a parte inteira não seja igual a zero, basta somá-la à fração geratriz obtida, apenas com a parte decimal desse número, exatamente como foi feito para dízimas periódicas simples com a parte inteira não nula.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Fração geratriz é aquela que é equivalente a uma dízima periódica
Fração geratriz é aquela que é equivalente a uma dízima periódica

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "O que é dízima periódica e fração geratriz?"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-dizima-periodica-e-fracao-geratriz.htm. Acesso em 22 de outubro de 2019.

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