Cilindro

Um cilindro é uma figura geométrica espacial, ou seja, só pode ser definida no espaço tridimensional. Sua definição formal é a seguinte: dados dois planos paralelos α e β, um círculo C no plano α e uma reta r secante a esses planos, um cilindro é o conjunto de segmentos paralelos a r que possuem como extremidade o círculo C no plano α e algum ponto do plano β.

O raio do cilindro é definido como raio do círculo C, e a altura do cilindro é definida como a distância entre os planos α e β. A imagem a seguir mostra alguns dos segmentos que fazem parte da definição do cilindro.

Cilindro reto e cilindro oblíquo

Um cilindro pode ser classificado como reto ou oblíquo, dependendo de seu formato. Para definir essa classificação, imagine o segmento paralelo à reta r, da definição do cilindro, cujas extremidades são o centro do círculo C e o plano β. Esse segmento de reta é chamado de eixo do cilindro.

Quando o eixo do cilindro é perpendicular às suas bases, dizemos que o cilindro é reto. Quando o eixo do cilindro não é perpendicular às suas bases, dizemos que o cilindro é oblíquo. A imagem a seguir mostra um exemplo de cilindro reto e outro de cilindro oblíquo.

Secções

Uma secção transversal é um a intersecção entre um sólido geométrico e um plano paralelo a uma de suas bases. A figura formada pela secção transversal de um cilindro sempre será um círculo congruente a uma de suas bases.

Observe a secção transversal do cilindro na figura a seguir.

Uma secção meridiana é a intersecção de um cilindro com um plano que contém seu eixo, lembrando que o eixo do cilindro é o segmento de reta cujas extremidades são os centros de suas bases.

Na imagem a seguir, é possível verificar que a secção meridiana do cilindro é igual a um paralelogramo. Se o cilindro for reto, esse paralelogramo será retangular.

Um cilindro cuja seção meridiana é um quadrado é chamado de cilindro equilátero.

Volume do cilindro

O princípio de Cavalieri afirma que dois sólidos geométricos possuem volumes iguai se:

1 – Esses sólidos estão sobre um mesmo plano;

2 – Esses sólidos possuem a mesma altura;

3 – Todas as secções transversais desses dois sólidos, obtidas por um mesmo plano paralelo às suas bases, tiverem áreas iguais.

Como todas as secções transversais de um cilindro são círculos congruentes à sua base e como toda as secções transversais de um prisma são polígonos congruentes às suas bases, pelo princípio de Cavalieri, um cilindro tem volume igual a um prisma, desde que ambos tenham bases em um mesmo plano, alturas iguais e a área da base do cilindro seja igual à área da base do prisma.

Assim, o volume do cilindro pode ser dado pelo produto da área de sua base por sua altura.

V = A_b·h

Observando que a base de um cilindro é um círculo, podemos reescrever essa fórmula da seguinte maneira:

V = πr²h

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática