A circunferência é uma figura geométrica plana formada pela união de pontos equidistantes, ou seja, possuem a mesma distância de um ponto fixo chamado de centro. O estudo da circunferência também está presente na geometria analítica, na qual é possível deduzir uma equação que a represente.
Embora o círculo e a circunferência sejam figuras geométricas planas com alguns elementos em comum, o que geralmente acarreta dúvidas, essas figuras apresentam diferenças importantes sobretudo no que diz respeito à dimensionalidade.
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Observe a circunferência:
O ponto C é chamado de centro da circunferência, e observe que os pontos A e B pertencem a ela. O segmento que une os extremos da circunferência passando pelo centro é chamado de diâmetro. Na circunferência anterior, temos então que o diâmetro é o segmento AB.
Ao dividir o diâmetro ao meio, vamos obter o raio da circunferência, ou seja, o raio (r) de uma circunferência é o segmento que une o centro e a extremidade. Nesse caso, o raio é o segmento CB. Podemos estabelecer uma relação matemática entre esses dois elementos, uma vez que o diâmetro é o dobro do raio.
d = 2 · r
Exemplo
Determine o raio de uma circunferência que possui diâmetro medindo 40 cm.
Sabemos que o diâmetro é o dobro do raio, assim:
Considere uma circunferência que possui raio medindo r. O comprimento ou perímetro da circunferência é dado pelo produto da constante pi (π) pelo dobro do raio.
Ao calcularmos o comprimento ou perímetro de uma circunferência, estamos determinando o tamanho da linha verde no desenho anterior, e, para isso, basta substituir o valor do raio na fórmula que procede a figura.
Exemplo
Determine o comprimento da circunferência de raio 5 cm.
O raio da circunferência é igual 5 cm, logo, para determinar o comprimento da circunferência, devemos substituir esse valor na fórmula.
C = 2πr
C = 2(3,14)(5)
C = 6,24 · 5
C = 31,2 cm
Veja também: Construção de polígonos inscritos
Considere uma circunferência de raio r. Para calcular sua área, devemos multiplicar o quadrado do valor do raio por π.
Quando calculamos a área da circunferência, estamos determinando a medida da superfície, ou seja, toda região no interior da circunferência.
Determine a área de uma circunferência que possui raio igual 4 cm.
Temos que o raio da circunferência é igual a 4 cm, logo, podemos substituir essa medida na fórmula da área. Veja:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
A = 50,24 cm2
Sabemos que uma circunferência pode ser construída pela coleção de pontos que possuem a mesma distância de um ponto fixo chamado de origem ou centro. Assim, considere um ponto fixo no plano cartesiano O(a, b). O conjunto de pontos — representado por P(x, y) — que estão à mesma distância r desse ponto fixo formará uma circunferência de raio r.
Note que os pontos da forma P(x, y) estão todos à mesma distância do ponto O(a, b), isto é, a distância entre os pontos O e P é igual ao raio da circunferência, assim:
Na equação reduzida, note que os números a e b são as coordenadas do centro da circunferência e que r é a medida do raio.
Determine as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência que possui equação:
a) (x – 2)2 + (y – 6)2 = 36
Comparando essa equação com a equação reduzida, temos:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 2)2 + (y – 6)2 = 36
Veja que a = 2, b = 6 e r2 = 36. A única equação a resolver-se é:
r2 = 36
r = 6
Portanto, a coordenada do centro é: O(2, 6) e o comprimento do raio é 6.
b) (x – 5)2 + (y + 3)2 = 121
De maneira semelhante, temos:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
– b = 3
b = –3
Enquanto o valor do raio é dado por:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + y2 = 1
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 + y2 = 1
Observe que x2 = (x + 0)2 e y2 = (y + 0)2 . Assim temos que:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Portanto, a coordenada do centro é O(0, 0) e o raio é igual 1.
Acesse também: Como encontrar o centro de uma circunferência?
Para determinar a equação geral da circunferência, devemos desenvolver a equação reduzida dela. Assim, considere uma circunferência que possui centro nas coordenadas O(a, b) e raio r.
Inicialmente, desenvolveremos os termos elevados ao quadrado utilizando-nos dos produtos notáveis; em seguida, passaremos todos os números para o primeiro membro; e, por fim, juntaremos os termos com coeficiente literal igual, isto é, os que possuem letras iguais. Veja:
Exemplo
Determine as coordenas do centro e a media do raio da circunferência que possui equação:
a) x2 + y2 – 4x – 6y + 4 + 9 – 49 = 0
Para determinar o raio e as coordenadas da circunferência que possui essa equação, devemos compará-la com a equação geral. Veja:
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
x2 + y2 – 4x – 6y + 4 + 9 – 49 = 0
Das comparações em verde, temos que:
2a = 4
a = 2
ou
a2 = 4
a = 2
Das comparações em vermelho, temos que:
2b = 6
b = 3
ou
b2 = 9
b =3
Assim, podemos afirmar que o centro possui coordenada O(2 , 3). Agora, comparando o valor de r, temos:
r2 = 49
r = 7
Portanto, o raio da circunferência tem comprimento igual a 7.
b) x2 + y2 – 10x + 14y + 10 = 0
De maneira semelhante, vamos comparar as equações:
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
x2 + y2 – 10x + 14y + 10 = 0
2a = 10
a = 5
Determinando o valor de b:
–2b = 14
b = – 7
Observe agora que:
a2 + b2 – r2 = 10
Como sabemos os valores de a e b, podemos substituí-los na fórmula. Veja:
a2 + b2 – r2 = 10
52 + (–7)2 – r2 = 10
25 + 49 – r2 = 10
74 – r2 = 10
– r2 = 10 – 74
(–1) – r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Portanto, as coordenadas do centro são O (5, –7) e o raio tem comprimento igual a 8.
A diferença entre uma circunferência e um círculo diz respeito ao número de dimensões de cada elemento. Enquanto a circunferência possui uma dimensão, o círculo possui duas.
A circunferência é uma região no plano formada por pontos todos equidistantes de um ponto fixo chamado de origem. O círculo é constituído por toda região no interior da circunferência. Veja em imagens a diferença:
Veja também: Comprimento da circunferência e área do círculo
Questão 1 – Uma circunferência possui perímetro igual a 628 cm. Determine o diâmetro dessa circunferência (adote π = 3,14).
Resolução
Como o perímetro é igual a 628 cm, podemos substituir esse valor na expressão de comprimento da circunferência.
Questão 2 – Duas circunferências são concêntricas se elas possuem o mesmo centro. Sabendo disso, determine a área da figura em branco.
Resolução
Veja que, para determinar a área da região em branco, devemos determinar a área do círculo maior e, em seguida, a do círculo menor em azul. Veja também que se retirarmos o círculo azul sobra somente a região que desejamos, portanto, devemos subtrair essas áreas. Veja:
AMAIOR = π r2
AMAIOR = (3,14) · (9)2
AMAIOR = (3,14) · 81
AMAIOR = 254,34 cm2
Vamos calcular agora a área do círculo em azul:
AMENOR = π r2
AMENOR = (3,14) · (5)2
AMENOR = (3,14) · 25
AMENOR = 78,5 cm2
Assim, a área em branco é dada pela diferença entre a área maior e a área menor.
ABRANCO = 254,34 – 78,5
ABRANCO = 175,84 cm2
Por Robson Luiz
Professor de Matemática
A respeito da definição básica das circunferências e de suas propriedades, assinale a alternativa correta.
a) Uma circunferência é uma região plana limitada por um círculo.
b) Uma circunferência é um conjunto de pontos cuja distância até o centro é sempre menor do que a constante r.
c) Uma circunferência possui apenas dois raios e a soma desses dois elementos é igual ao diâmetro.
d) Uma circunferência de centro O e raio r é um conjunto de todos os pontos cuja distância até O é igual a r.
e) Círculo é a região do plano limitada por um diâmetro.
Dada uma circunferência de centro O e raio r, assinale a alternativa correta:
a) Dado um ponto A, fora da circunferência, o segmento OA é menor ou igual a r.
b) Sabendo que o segmento OA tem comprimento menor do que r, pode-se afirmar que A pertence ao círculo limitado por essa circunferência.
c) Sabendo que o segmento OA tem comprimento maior do que r, pode-se afirmar que A pertence à circunferência.
d) O diâmetro do círculo limitado por essa circunferência é igual a 3r.
e) Para que o ponto A pertença à circunferência, basta que a distância de A até O seja menor do que r.
Ver resposta
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