O cone é um sólido geométrico estudado na geometria espacial. Classificado como um corpo redondo ou sólido de revolução, ele está bastante presente no nosso cotidiano.
Chamamos de cone um sólido geométrico, também conhecido como um corpo redondo ou sólido de revolução, que possui a base circular e é construído a partir da rotação de um triângulo. O cone e os demais sólidos geométricos são objetos de estudo da geometria espacial. De acordo com as suas características, ele pode ser classificado como:
cone reto;
cone oblíquo;
cone equilátero.
Há fórmulas específicas para o cálculo da área total e do volume do cone.
O cone é um sólido geométrico conhecido como sólido de revolução. Bastante presente no nosso cotidiano, ele é conhecido como sólido de revolução por ser construído a partir da rotação de um triângulo.
A base dele é sempre uma circunferência. Além da base em si, outro elemento importante é o raior da circunferência, conhecido como raio da base do cone. Além disso, há o vértice do cone (V) e a altura (h), que, por definição, é o segmento que sai do vértice e é perpendicular à base, ou seja, forma um ângulo de 90º.
Cone de altura h e raio r
Além dos elementos já citados, existe outro elemento importante no cone, que é a geratriz. Chamamos de geratriz do cone qualquer segmento que parte do vértice e vai de encontro à circunferência da base.
A geratriz é o segmento de reta AV na imagem. Note que ele é a hipotenusa do triângulo AVC, logo podemos estabelecer uma relação pitagórica entre o raio, a altura e a geratriz.
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Classificação de cones
De acordo com as suas características, podemos classificar o cone em dois casos: reto ou oblíquo. Como caso particular de cone reto, há os cones equiláteros.
Cone oblíquo
Um cone é conhecido como oblíquo quando o segmento que liga o vértice com o centro da sua base não coincide com a altura do cone.
Quando o vértice não está alinhado com o centro da base, o segmento que liga o vértice ao centro da circunferência não é mais a altura como no cone reto. Note que o eixo do cone, na imagem, não é perpendicular à base. Nesse caso suas geratrizes não são todas congruentes, logo não é possível encontrar o seu comprimento pelo teorema de Pitágoras, não existindo fórmulas específicas para a geratriz nem para o volume e a sua área toral.
Cone reto
O cone é conhecido como reto quando seu eixo coincide com a altura do cone, ou seja, o segmento que liga o vértice ao centro da circunferência da base é perpendicular ao plano que contém a base do cone.
Cone equilátero
Um cone reto é conhecido como equilátero quando o seu diâmetro é igual à sua geratriz.
Note que o triângulo AVB é um triângulo equilátero, ou seja, todos os lados são congruentes, o que significa que a sua geratriz é congruente ao diâmetro da base e que, por consequência, o comprimento da geratriz é igual a duas vezes o comprimento do raio da base.
Ao estudar os sólidos geométricos, há dois cálculos importantes para cada um deles, que é o cálculo do volume e o cálculo da área total do sólido geométrico. Para calcular o valor do volume do cone de cada um deles, é necessário utilizar fórmulas específicas. Vale lembrar que essas fórmulas são específicas do cone reto.
Fórmula do volume do cone
r → raio da base
V→ volume
h → altura
Fórmula da área total do cone
Para calcular a área total, analisando a planificação do cone, faremos a soma da área lateral com área da base de um cone.
Planificação do cone
A sua base é um círculo, logo a área é calculada por:
Ab = π·r².
Já a sua área lateral é um setor circular, que é igual a:
Al = π·r·g
Sendo assim,a área total é igual a:
At = π·r² + π·r·g
Colocando π·r em evidência, podemos calcular a área total por:
At = π·r(r+g)
r→ raio
g → geratriz
O cone é um sólido geométrico do tipo corpo redondo.
Tronco de cone
Quando se intercepta um cone por um plano paralelo à base, é possível criar o sólido geométrico conhecido como tronco de um cone. O tronco de um cone vai sempre possuir duas bases no formato de círculos, uma maior e a outra menor.
Questão 1 – (Enem 2013) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:
Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são:
A) um tronco de cone e um cilindro.
B) um cone e um cilindro.
C) um tronco de pirâmide e um cilindro.
D) dois troncos de cone.
E) dois cilindros.
Resolução
Alternativa D. Note que os dois sólidos possuem uma base maior e uma base maior circular, o que faz com que ambas sejam troncos de cone.
Questão 2 – Um reservatório será construído no formato de um cone, utilizando-se alumínio como material. Desprezando a espessura do reservatório e sabendo que ele é um cone reto com 1,5 m de raio e 2 m de altura, qual é a quantidade de alumínio necessária para a construção desse reservatório? (use π = 3)
A) 10 m²
B) 14 m²
C) 16 m²
D) 18 m²
E) 20 m²
Resolução
Alternativa D.
Queremos calcular a área total do cone, que é dada por:
At = π·r(r+g)
Note que não temos o valor de g, então, primeiro vamos calcular o valor da geratriz g.
g² = r² + h²
g² = 1,5² + 2²
g² = 2,25+4
g² = 6,25
g = √6,25
g = 2,5 m
Então a área total será de:
At = π·r(r+g)
At = 3·1,5(1,5+2,5)
At = 4,5·4
At = 18 m²
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de.
"Cone"; Brasil Escola.
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/cone.htm. Acesso em 06 de julho
de 2022.
Uma embalagem possui o formato de um cone. Sabendo que o raio da base desse cone é de 12 cm e sua altura é de 16 cm, então a área total dessa embalagem é: