Chamamos de cone um sólido geométrico, também conhecido como um corpo redondo ou sólido de revolução, que possui a base circular e é construído a partir da rotação de um triângulo. O cone e os demais sólidos geométricos são objetos de estudo da geometria espacial. De acordo com as suas características, ele pode ser classificado como:
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cone reto;
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cone oblíquo;
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cone equilátero.
Há fórmulas específicas para o cálculo da área total e do volume do cone.
Leia também: O que são formas geométricas?
Tópicos deste artigo
- 1 - Elementos do cone
- 2 - Classificação de cones
- 3 - Fórmulas do cone
- 4 - Tronco de cone
- 5 - Exercícios resolvidos sobre cone
Elementos do cone
O cone é um sólido geométrico conhecido como sólido de revolução. Bastante presente no nosso cotidiano, ele é conhecido como sólido de revolução por ser construído a partir da rotação de um triângulo.
A base dele é sempre uma circunferência. Além da base em si, outro elemento importante é o raio r da circunferência, conhecido como raio da base do cone. Além disso, há o vértice do cone (V) e a altura (h), que, por definição, é o segmento que sai do vértice e é perpendicular à base, ou seja, forma um ângulo de 90º.
Além dos elementos já citados, existe outro elemento importante no cone, que é a geratriz. Chamamos de geratriz do cone qualquer segmento que parte do vértice e vai de encontro à circunferência da base.
A geratriz é o segmento de reta AV na imagem. Note que ele é a hipotenusa do triângulo AVC, logo podemos estabelecer uma relação pitagórica entre o raio, a altura e a geratriz.
g² = r² + h²
g → geratriz do cone
r→ raio da base
h→ altura
Veja também: Quais são as aplicações do teorema de Pitágoras?
Classificação de cones
De acordo com as suas características, podemos classificar o cone em dois casos: reto ou oblíquo. Como caso particular de cone reto, há os cones equiláteros.
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Cone oblíquo
Um cone é conhecido como oblíquo quando o segmento que liga o vértice com o centro da sua base não coincide com a altura do cone.
Quando o vértice não está alinhado com o centro da base, o segmento que liga o vértice ao centro da circunferência não é mais a altura como no cone reto. Note que o eixo do cone, na imagem, não é perpendicular à base. Nesse caso suas geratrizes não são todas congruentes, logo não é possível encontrar o seu comprimento pelo teorema de Pitágoras, não existindo fórmulas específicas para a geratriz nem para o volume e a sua área toral.
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Cone reto
O cone é conhecido como reto quando seu eixo coincide com a altura do cone, ou seja, o segmento que liga o vértice ao centro da circunferência da base é perpendicular ao plano que contém a base do cone.
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Cone equilátero
Um cone reto é conhecido como equilátero quando o seu diâmetro é igual à sua geratriz.
Note que o triângulo AVB é um triângulo equilátero, ou seja, todos os lados são congruentes, o que significa que a sua geratriz é congruente ao diâmetro da base e que, por consequência, o comprimento da geratriz é igual a duas vezes o comprimento do raio da base.
Acesse também: Cônicas – figuras formadas pela intersecção de um plano e um cone duplo
Fórmulas do cone
Ao estudar os sólidos geométricos, há dois cálculos importantes para cada um deles, que é o cálculo do volume e o cálculo da área total do sólido geométrico. Para calcular o valor do volume do cone de cada um deles, é necessário utilizar fórmulas específicas. Vale lembrar que essas fórmulas são específicas do cone reto.
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Fórmula do volume do cone
r → raio da base
V→ volume
h → altura
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Fórmula da área total do cone
Para calcular a área total, analisando a planificação do cone, faremos a soma da área lateral com área da base de um cone.
A sua base é um círculo, logo a área é calculada por:
Ab = π·r².
Já a sua área lateral é um setor circular, que é igual a:
Al = π·r·g
Sendo assim, a área total é igual a:
At = π·r² + π·r·g
Colocando π·r em evidência, podemos calcular a área total por:
At = π·r(r+g)
r→ raio
g → geratriz
Tronco de cone
Quando se intercepta um cone por um plano paralelo à base, é possível criar o sólido geométrico conhecido como tronco de um cone. O tronco de um cone vai sempre possuir duas bases no formato de círculos, uma maior e a outra menor.
Leia também: Cilindro – sólido formado por duas bases circulares em planos distintos e paralelos
Exercícios resolvidos sobre cone
Questão 1 – (Enem 2013) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:
Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são:
A) um tronco de cone e um cilindro.
B) um cone e um cilindro.
C) um tronco de pirâmide e um cilindro.
D) dois troncos de cone.
E) dois cilindros.
Resolução
Alternativa D. Note que os dois sólidos possuem uma base maior e uma base maior circular, o que faz com que ambas sejam troncos de cone.
Questão 2 – Um reservatório será construído no formato de um cone, utilizando-se alumínio como material. Desprezando a espessura do reservatório e sabendo que ele é um cone reto com 1,5 m de raio e 2 m de altura, qual é a quantidade de alumínio necessária para a construção desse reservatório? (use π = 3)
A) 10 m²
B) 14 m²
C) 16 m²
D) 18 m²
E) 20 m²
Resolução
Alternativa D.
Queremos calcular a área total do cone, que é dada por:
At = π·r(r+g)
Note que não temos o valor de g, então, primeiro vamos calcular o valor da geratriz g.
g² = r² + h²
g² = 1,5² + 2²
g² = 2,25+4
g² = 6,25
g = √6,25
g = 2,5 m
Então a área total será de:
At = π·r(r+g)
At = 3·1,5(1,5+2,5)
At = 4,5·4
At = 18 m²
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática
