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Paralelepípedo

O paralelepípedo é um sólido geométrico bastante presente no nosso cotidiano, sendo assim chamado por possuir faces formadas por paralelogramos.

Paralelepípedo
O paralelepípedo é um sólido geométrico recorrente no nosso dia a dia.
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O paralelepípedo é um sólido geométrico estudado na Geometria Espacial, bastante presente no nosso cotidiano. Caixas, alguns prédios e vários outros objetos possuem formato de paralelepípedo.

Para que um sólido geométrico seja considerado paralelepípedo, ele precisa possuir faces formadas por paralelogramos — faces possuindo formato de retângulos, quadrados ou losangos, por exemplo. Vale dizer também que um paralelepípedo pode ser reto ou oblíquo.

Para calcular o volume de um paralelepípedo, calculamos o produto entre a área da base e a altura, mas existem também fórmulas para o cálculo da área total e da diagonal.

Leia também: Área dos sólidos geométricos — fórmulas e exemplos de cálculo das principais figuras

Tópicos deste artigo

Resumo sobre paralelepípedo

  • O paralelepípedo é um sólido geométrico que possui faces formadas por paralelogramos.

  • É composto por 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.

  • É classificado como reto quando suas arestas são perpendiculares e como oblíquo quando suas arestas não são perpendiculares.

  • Para calcular o volume de um paralelepípedo reto ou oblíquo, utilizamos a fórmula:

\(V=A_b\cdot h\)

  • Considerando um paralelepípedo reto, com lados da base medindo a e b e altura c, seu volume pode ser calculado por:

\(V=a\cdot b\ \cdot c\)

  • O paralelepípedo oblíquo não possui fórmulas específicas para o cálculo da área total e da diagonal, já o paralelepípedo reto, sim.

  • A área total do paralelepípedo reto é calculada pela fórmula:

\(A=2ab+2ac+2bc\)

  • A diagonal de um paralelepípedo reto é calculada por:

\(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

Videoaula sobre o paralelepípedo

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Elementos e características do paralelepípedo

Os principais elementos de um sólido geométrico são as suas faces, suas arestas e seus vértices. O paralelepípedo é composto por 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.

Faces, arestas e vértices de um paralelepípedo

  • Os 8 vértices são os pontos A, B, C, D, E, F, G, H.

  • As 12 arestas são os segmentos \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{AD},\overline{AE},\overline{EF},\overline{BF},\overline{FG},\overline{GH},\overline{EH},\overline{CG},\overline{DH}\).

  • As 6 faces são os paralelogramos ABCD, ABEF, CDHG, ADHE, BCGF, EFGH.

Classificação do paralelepípedo

Os paralelepípedos podem ser classificados de duas maneiras distintas. Há os paralelepípedos retos e os paralelepípedos oblíquos. O paralelepípedo é reto quando a sua aresta lateral forma um ângulo de 90° com a aresta da base e é oblíquo quando existe uma inclinação diferente de 90° entre a aresta da base e a aresta lateral.

Paralelepípedo reto e paralelepípedo oblíquo, respectivamente.

O paralelepípedo reto possui fórmulas específicas para o cálculo de volume, área total e diagonal. Vejamos a seguir cada uma delas.

Fórmulas do paralelepípedo

As fórmulas do paralelepípedo servem para calcular o volume, a área total e a diagonal de um paralelepípedo reto. O paralelepípedo oblíquo possui fórmula para o cálculo do volume, porém ele não possui fórmula específica para o cálculo da área e da diagonal, por causa dos formatos que ele pode assumir.

  • Fórmula para cálculo do volume do paralelepípedo

Para calcular o volume de um paralelepípedo qualquer (reto ou oblíquo), utilizamos a fórmula:

\(V=A_b\cdot h\)

  • \(A_b\):  área da base

  • h: altura do paralelepípedo

Paralelepípedo oblíquo
Paralelepípedo oblíquo

Especificamente no paralelepípedo reto, a base é composta por um retângulo. Assim, a área da base é igual ao produto entre as duas dimensões da base. Para calcular o volume, basta multiplicar o valor pela altura. Logo, o volume de um paralelepípedo reto é o produto entre o comprimento, a largura e a altura.

\(V\ =\ a\ \cdot b\ \cdot c\)

Paralelepípedo reto
Paralelepípedo reto
  • Fórmula para cálculo de área do paralelepípedo

A área de um sólido geométrico é a soma das áreas das suas faces. Como as faces do paralelepípedo retângulo são todas retângulos, a área de cada face é igual ao produto entre o comprimento e a largura da face. Entretanto, faces paralelas possuem a mesma medida, então para calcular a área de um paralelepípedo reto utilizamos a fórmula:

\(A=2(ab+ac+bc)\)

  • Fórmula para cálculo da diagonal do paralelepípedo

Conhecemos como diagonal de um paralelepípedo o segmento de reta que liga um vértice ao vértice oposto a ele, como na imagem a seguir:

Diagonal do paralelepípedo

Para calcular o comprimento da diagonal de um paralelepípedo reto, utilizamos a fórmula:

\(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

Leia também: Fórmulas para cálculo do volume dos principais sólidos geométricos

Exercícios resolvidos sobre paralelepípedo

Questão 1

Uma caixa possui formato de um paralelepípedo reto com dimensões de 50 cm de largura, 85 cm de comprimento e 62 cm de altura. A medida da área total dessa caixa é de:

A) 25.240 cm²

B) 26.120 cm²

C) 27.000 cm²

D) 28.150 cm²

E) 28.320 cm²

Resolução:

Alternativa A

Calculando a área total, temos que:

\(A=2\left(50\cdot85+50\cdot62+62\cdot85\right)\)

\(A=2\cdot12.620\)

\(A=25.240\ cm^2\ \ \)

Questão 2

(IFG 2017) A água da piscina de saltos ornamentais do Centro Aquático Maria Lenk, no Parque Olímpico da Barra (Rio 2016), ficou verde. O Comitê Olímpico justificou a coloração devido a 80 litros de peróxido de hidrogênio (água oxigenada) jogados na água, que criou uma reação para o cloro que neutralizou sua habilidade de matar organismos. Para a competição, a água de toda a piscina foi trocada. Suponha que essa piscina tenha o mesmo volume de um paralelepípedo reto com 23 metros de comprimento, 18 metros de largura e 9 metros de profundidade. Qual o volume de água que foi trocado desta piscina, em litros?  (Adote 1 m³ = 1000 litros).

A) 3,726 milhões.

B) 4,140 milhões.

C) 2,070 milhões.

D) 1,620 milhões.

E) 2,125 milhões.

Resolução:

Alternativa A

Para calcular o volume, multiplicaremos as três dimensões:

\(V=18\cdot9\cdot23\)

\(V=3726\ m³\)

Como o volume é dado em litros, multiplicaremos por 1000:

\(V\ =\ 3726\ \cdot1000\ =\ 3\ 726\ 000\ litros\)

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Paralelepípedo"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/paralelepipedos.htm. Acesso em 06 de julho de 2022.

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Lista de exercícios


Exercício 1

A respeito da definição dos paralelepípedos, assinale a alternativa correta:

a) Os paralelepípedos são prismas cujas faces opostas são paralelas.

b) Os paralelepípedos são prismas cujas bases são paralelas e as faces laterais são paralelogramos.

c) As bases dos paralelepípedos podem ser triângulos, desde que elas sejam paralelas.

d) Para ser paralelepípedo, um sólido geométrico precisa formar ângulos retos entre suas faces laterais e suas bases.

e) Paralelepípedos são sólidos geométricos formados por todos os segmentos de reta paralelos a uma reta r com extremidades em um polígono A e em um plano α paralelo a esse polígono.

Exercício 2

A respeito das propriedades, características e classificações dos paralelogramos, assinale a alternativa correta:

a) Como as faces laterais de um paralelepípedo sempre são paralelogramos, então elas são congruentes.

b) Em um paralelepípedo, duas arestas sempre são paralelas se estiverem no mesmo plano e não possuírem ponto em comum.

c) Se os ângulos da base de um paralelepípedo são retos, então ele é chamado de paralelepípedo retângulo.

d) Se um paralelepípedo possui faces retangulares, então, todas as suas faces são congruentes.

e) Um paralelepípedo é chamado de oblíquo quando suas bases não são congruentes.

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