Elementos de uma esfera

Uma esfera é um sólido geométrico formado pelo giro de 180° de uma circunferência em torno do seu próprio eixo central, também chamado de eixo de rotação.

Note que a esfera também pode ser definida pelo giro de 360° de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro. A imagem a seguir, à esquerda, mostra uma semicircunferência e seu diâmetro e, à direita, a esfera resultante de sua revolução (giro).

Elementos da esfera

• Secção da esfera: é um corte feito na esfera por um plano. É a interseção entre a esfera e um plano. Qualquer interseção entre a esfera e o plano gera um círculo. Se esse plano passa pelo centro da esfera, além de gerar um círculo com o mesmo raio que o da esfera, esse círculo será o maior possível, chamado de círculo máximo.

Para as secções transversais, vale a relação:

a² = r² + b²

- a é o raio da circunferência formada pela secção transversal;

- r é o raio da esfera;

- b é a distância do centro da esfera até a secção transversal.

• Superfície esférica: é a “casca” da esfera. Pode ser obtida pelo giro de 360° de uma semicircunferência ao redor de seu diâmetro. É a parte da esfera usada para calcular sua área. Para esse cálculo, a fórmula usada é a seguinte:

A = 4πr²

*r é o raio da esfera.

• Polos: o ponto “mais alto” e o“mais baixo” de uma esfera. São as interseções entre o diâmetro do semicírculo que foi girado e o sólido resultante.

• Paralelo: é a circunferência observada na secção transversal da esfera com relação ao seu eixo de rotação.

  Lembre-se: secção transversal da esfera é a secção perpendicular ao eixo de rotação dela.

• Equador: É o paralelo cuja secção transversal passa pelo centro da esfera. Assim, é o maior paralelo e possui raio igual ao da esfera.

Exemplo de Equador

• Meridiano: circunferência resultante da secção de uma esfera por um plano que contém seu eixo de rotação. De certa forma, podemos dizer que paralelos e meridianos são perpendiculares.

Exemplos de meridianos em uma esfera

Cunha esférica

Imagine, na definição de esfera, que um semicírculo não complete a volta de 360°. Digamos que ele dê uma volta de 30°. A figura será algo parecido com o objeto na figura a seguir:

É possível calcular o volume da cunha esférica por meio de uma regra de três básica ou a partir de uma fórmula proveniente dessa regra. Para tanto, basta lembrar que o volume da esfera é resultado da revolução de um semicírculo em torno de seu próprio diâmetro em 360° e que a cunha esférica é resultado da mesma revolução apenas em α graus. Sendo V o volume da esfera e y o volume da cunha esférica, teremos:

 V = y
360  α 

Sabendo que V = 4/3πr³, teremos:

4/3πr³ = y
  360      α

360y = α4πr³
          3
y = α4πr³
      3·360

y = απr³
     270

Fuso esférico

É equivalente à cunha esférica, mas para uma semicircunferência. Um exemplo de fuso esférico pode ser encontrado na figura a seguir.

Também podemos calcular a área do fuso esférico por meio de uma regra de três. Para tanto, lembre-se de que a área da superfície esférica completa é resultado de uma revolução em 360° de uma circunferência e que a área do fuso é uma revolução em α graus de uma circunferência. Como a área da superfície completa é A = 4πr², a área do fuso esférico é x e pode ser calculada da seguinte maneira:

4πr² = x
360     α

Resolvendo a equação, teremos:

360x = α4πr²

x = 4απr²
     360

x = απr²
      90

Exemplo

Calcule a área e o volume de uma parte da laranja, sabendo que o raio da esfera da laranja é de 4 centímetros e que o ângulo dessa parte é de 90°.

Para calcular o volume, utilizamos a fórmula dada ou regra de três:

y = απr³
      270

y = 90·3,14·4³
     270

y = 282,6·64
      270

y = 18086,4
      270

y = 67 cm³

Para calcular a área, basta utilizar a respectiva fórmula.

x = απr²
      90

x = 90·3,14·4²
     90

x = 282,6·16
      90

x = 4521,6
     90

x = 50,24 cm²

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática