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A área do cone é a medida da superfície desse sólido geométrico. Como o cone é formado por uma base circular e uma região lateral curva, sua área será a soma das áreas dessas duas regiões, chamadas, respectivamente, de área da base e área lateral.
Leia também: Como calcular o tronco de um cone
Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre a área do cone
- 2 - Videoaula sobre a área do cone
- 3 - Planificação do cone
- 4 - Qual a fórmula da área do cone?
- 5 - Como se calcula a área do cone?
- 6 - Exercícios resolvidos sobre a área do cone
Resumo sobre a área do cone
- A medida da superfície do cone é a área desse corpo redondo.
- A superfície do cone é constituída por duas partes: a base e a lateral.
- Se r é o raio da base do cone, então a área da base é dada por
\(A_b=πr^2\)
- Se g é a geratriz do cone, então a área lateral é dada por
\(A_l=πrg\)
- A área total do cone é dada por
\(A_t=πr^2+πrg=πr(r+g)\)
Videoaula sobre a área do cone
Planificação do cone
O cone é um corpo redondo formado por uma base circular e uma lateral curva (semelhante a um funil ou chapéu de aniversário). Assim, sua planificação é composta por duas partes: um círculo e setor circular.
A imagem abaixo apresenta o processo de planificação de um cone circular reto (no qual o segmento VO é perpendicular ao plano da base). À esquerda, temos um cone de altura h, raio da base r e geratriz g. À direita temos a planificação desse cone. Perceba que a base formou um círculo de raio r, e a lateral formou um setor circular de raio g e comprimento de arco 2πr (que é o comprimento do círculo da base).
Qual a fórmula da área do cone?
Pela planificação do cone circular reto, concluímos que sua área é a soma da área da base e da área lateral.
A área da base de um cone é a área de um círculo de raio r . Portanto, a área da base Ab de um cone é dada por
\(A_b=πr^2\)
Já a área lateral Al é a área de um setor circular de raio g e comprimento de arco 2πr . Como a área do setor é proporcional à área do círculo completo, podemos relacionar as respectivas áreas com os comprimentos dos arcos:
\( \frac{πg^2}{A_l } \frac{2πg}{2πr }\)
\(A_l=πrg\)
Logo, a fórmula da área do cone At é dada por
\(A_t=A_b+A_l\)
\(A_t=πr^2+πrg\)
\(A_t=πr(r+g)\)
Como se calcula a área do cone?
Para calcular a área de um cone circular reto, basta substituir os dados do raio r e da geratriz g .
Uma relação importante entre os segmentos do raio r, da altura h e da geratriz g nesse tipo de cone é que os três formam um triângulo retângulo. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, temos que
\(g^2=h^2+r^2\)
Essa informação é muito útil caso a altura do cone seja conhecida mas a geratriz ou o raio não sejam conhecidos.
- Exemplo: Determine a área de um cone circular reto com 3 cm de raio da base e 4 cm de altura.
Para calcular a área desse cone precisamos da geratriz:
\(g^2=h^2+r^2\)
\(g^2=4^2+3^2\)
\(g=√25=5cm\)
Logo,
\(A_t=πr(r+g)\)
\(A_t=π⋅3(3+5)\)
\(A_t=24π cm²\)
Leia também: Como calcular o volume do cone
Exercícios resolvidos sobre a área do cone
Questão 1
(UFPI) Se 8π cm² é a área lateral de um cone circular reto cujo raio da base é 2 cm, então a altura desse cone, em cm, é:
a) \( √2.\)
b) \( √3.\)
c) \( √6.\)
d) \( 2√2.\)
e) \( 2√3.\)
Resolução
Como a área lateral é 8π cm² e r = 2 cm, então g = 4 cm, pois
\(A_l=πrg\)
\(8π= π⋅2⋅g\)
\(g=4\)
Portanto,
\(g^2=h^2+r^2\)
\(4^2=h^2+2^2\)
\(h^2=12\)
\(h=2√3\)
Alternativa E.
Questão 2
(Unifor-CE – adaptado) Em um cone reto, a área da base é \(9π cm² \) e a geratriz mede \(3√10 cm\). A área desse cone, em centímetros quadrados, é
a) \( 9π(1+√10)\)
b) \( 3π(1+√10)\)
c) \( 3π(1+√3)\)
d) \( 9π(1+√3)\)
e) \( 10π(1+√3)\)
Resolução
Como a área da base é 9π cm², então r=3 cm, pois
\(A_b=πr^2\)
\(9π=πr^2\)
\(r^2=9\)
\(r=3\)
Assim,
\(A_t=πr(r+g)\)
\(A_t=π⋅3(3+3√10)\)
\(A_t=9π+9π√10\)
\(A_t=9π(1+√10)\)
Alternativa A.
Fontes:
DANTE, L. R. Matemática: contexto & aplicações – Ensino Médio. 3. ed. São Paulo: Ática, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica. 7 ed. Santos: Atual, 2013.
