Topo
pesquisar

Área de sólidos geométricos

Matemática

A área de sólidos geométricos é uma medida encontrada por fórmulas específicas de cada sólido ou pela soma da área de cada figura presente em sua planificação.
Os sólidos geométricos podem ter sua área determinada por meio de fórmulas
Os sólidos geométricos podem ter sua área determinada por meio de fórmulas
PUBLICIDADE

A área de um sólido geométrico pode ser obtida pela soma das áreas de cada uma das figuras geométricas que o compõem. Um tetraedro, por exemplo, é uma pirâmide de base triangular. Essa pirâmide é formada por quatro triângulos: uma base e três faces laterais. Somando as áreas de cada um desses triângulos, teremos a área do tetraedro.
 


                                                                                           Tetraedro regular à direita e sua planificação à esquerda


A seguir veja as fórmulas usadas para o cálculo de área de alguns sólidos geométricos e exemplos de como usá-las.


Área do paralelepípedo

Considere um paralelepípedo cujo comprimento mede “x”, a largura mede “y” e a altura mede “z”, como o da figura a seguir:
 


A fórmula usada para calcular sua área é:

A = 2xy + 2yz + 2xz


Essa mesma fórmula vale para a área do cubo, que é um caso especial de paralelepípedo. Entretanto, como todas as arestas do cubo são iguais, essa fórmula pode ser reduzida. Assim, a área de um cubo de aresta L é determinada por:
 

A = 6L2


Exemplo 1

Qual é a área de um bloco retangular com comprimento e largura iguais a 10 cm e com altura igual a 5 cm?

Como comprimento = largura = 10 cm, teremos x = 10 e y = 10. Como altura = 5 cm, teremos z = 5. Usando a fórmula da área do paralelepípedo, teremos:
 

A = 2xy + 2yz + 2xz

A = 2·10·10 + 2·10·5 + 2·10·5

A = 200 + 100 + 100

A = 400 cm2


Exemplo 2

Qual a área de um cubo cuja aresta mede 10 cm?

A = 6L2

A = 6·102

A = 6·100

A = 600 cm2


Área do cilindro

Dado o cilindro de raio r e altura h, ilustrado pela figura a seguir, a fórmula usada para calcular sua área é:

A = 2πr(r + h)


Exemplo 3

Determine a área de um cilindro cuja altura mede 40 cm e o diâmetro mede 16 cm. Considere π = 3.

O raio de um círculo é igual à metade de seu diâmetro (16:2 = 8). Assim, o raio da base do cilindro é igual a 8 cm. Basta substituir esses valores na fórmula:
 

A = 2πr(r + h)

A = 2·3·8(8 + 40)

A = 2·3·8·48

A = 6·384

A = 2304 cm2


Área do cone

A fórmula usada para determinar a área do cone é:

A = πr(r + g)
 

A figura a seguir mostra que r é o raio do cone e g é a medida de sua geratriz.
 


Exemplo 4

Calcule a área de um cone cujo diâmetro é igual a 24 cm e cuja altura mede 16 cm. Considere π = 3.

Para descobrir a medida da geratriz do cone, use a seguinte expressão:
 

g2 = r2 + h2
 

Como o raio do cone é igual à metade de seu diâmetro, a medida do raio é 24:2 = 12 cm. Substituindo os valores na expressão, teremos:
 

g2 = r2 + h2

g2 = 122 + 162

g2 = 144 + 256

g2 = 400

g = √400

g = 20 cm


Substituindo a medida do raio e da geratriz do cone na fórmula de área, teremos:

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

 

A = πr(r + g)

A = 3·12(12 + 20)

A = 36·32

A = 1152 cm2


Área da esfera

A fórmula usada para calcular a área da esfera de raio r é:

A = 4πr2


Exemplo 5

Calcule a área da esfera da imagem a seguir. Considere π = 3.


Usando a fórmula da área da esfera, teremos:

A = 4πr2

A = 4·3·52

A = 12·25

A = 300 cm2


Área da pirâmide

Os prismas e pirâmides não possuem uma fórmula específica para cálculo de área, pois o formato de suas faces laterais e de suas bases é muito variável. Entretanto, é sempre possível calcular a área de um sólido geométrico planificando-o e somando as áreas individuais de cada uma de suas faces.

Quando esses sólidos são retos, como o prisma reto e a pirâmide reta, é possível identificar relações entre as medidas de suas faces laterais.

Veja também: Cálculo da área de um prisma


Exemplo 6

Uma pirâmide reta de base quadrada possui apótema igual a 10 cm e aresta da base igual a 5 cm. Qual é a sua área?

Para resolver esse exemplo, observe a imagem da pirâmide a seguir:
 


Uma pirâmide reta de base quadrada possui todas as faces laterais congruentes. Assim, basta calcular a área de uma delas, multiplicar o resultado por 4 e somar isso ao resultado obtido no cálculo da área da base da pirâmide.

Para calcular a área de um desses triângulos, precisamos da medida de sua altura. Essa medida é igual ao apótema da pirâmide, portanto, 10 cm. Na fórmula a seguir, o apótema será representado pela letra h. Além disso, todas as bases dos triângulos são congruentes, pois todas elas são também lados de um quadrado e medem 5 cm.

Área de uma face lateral:

A =  bh 
      2

A =  5·10 
      2

A =  50 
      2

A = 25 cm2


Área das quatro faces laterais:

A = 4·25

A = 100 cm2


Área da base (que é igual à área de um quadrado):

A = l2

A = 52

A = 25 cm2


Área total dessa pirâmide:

A = 100 + 25 = 125 cm2


Área do prisma

Como dito, não há fórmula específica para a área do prisma. Devemos calcular a área de cada uma de suas faces e somá-las no final.

Exemplo 7

Qual é a área do prisma reto de base quadrada, sabendo que a altura desse sólido é de 10 cm e que a aresta de sua base mede 5 cm?

Solução:

A seguir, veja uma imagem do prisma em questão para auxiliar na construção da solução:
 


O exercício informa que a base do prisma é quadrada. Além disso, as duas bases do prisma são congruentes, ou seja, encontrando a área de uma dessas bases, basta multiplicar essa medida por 2 para determinar a área das duas bases do prisma.

Ab = l2

Ab = 52

Ab = 25 cm2

Além disso, como ele possui base quadrada, fica fácil perceber que ele possui quatro faces laterais, que também são congruentes, pois o sólido é reto. Assim, encontrando a área de uma das faces laterais, basta multiplicar esse valor por 4 para encontrar a área lateral do prisma.

Afl = b·h

Afl = 5·10

Afl = 50 cm2

Al = 4Afl

Al = 4·50

Al = 200 cm2


A área total do prisma é:

A = Ab + Al

A = 25 + 200

A = 225 cm2


Por Luiz Paulo Silva
Graudado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Área de sólidos geométricos"; Brasil Escola. Disponível em <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-solidos-geometricos.htm>. Acesso em 19 de setembro de 2018.

  • SIGA O BRASIL ESCOLA