Paralelepípedo

O paralelepípedo é um sólido geométrico estudado na Geometria Espacial, bastante presente no nosso cotidiano. Caixas, alguns prédios e vários outros objetos possuem formato de paralelepípedo.

Para que um sólido geométrico seja considerado paralelepípedo, ele precisa possuir faces formadas por paralelogramos — faces possuindo formato de retângulos, quadrados ou losangos, por exemplo. Vale dizer também que um paralelepípedo pode ser reto ou oblíquo.

Para calcular o volume de um paralelepípedo, calculamos o produto entre a área da base e a altura, mas existem também fórmulas para o cálculo da área total e da diagonal.

Leia também: Área dos sólidos geométricos — fórmulas e exemplos de cálculo das principais figuras

Resumo sobre paralelepípedo

• O paralelepípedo é um sólido geométrico que possui faces formadas por paralelogramos.

• É composto por 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.

• É classificado como reto quando suas arestas são perpendiculares e como oblíquo quando suas arestas não são perpendiculares.

• Para calcular o volume de um paralelepípedo reto ou oblíquo, utilizamos a fórmula:

\(V=A_b\cdot h\)

• Considerando um paralelepípedo reto, com lados da base medindo a e b e altura c, seu volume pode ser calculado por:

\(V=a\cdot b\ \cdot c\)

• O paralelepípedo oblíquo não possui fórmulas específicas para o cálculo da área total e da diagonal, já o paralelepípedo reto, sim.

• A área total do paralelepípedo reto é calculada pela fórmula:

\(A=2ab+2ac+2bc\)

• A diagonal de um paralelepípedo reto é calculada por:

\(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

Videoaula sobre o paralelepípedo

Elementos e características do paralelepípedo

Os principais elementos de um sólido geométrico são as suas faces, suas arestas e seus vértices. O paralelepípedo é composto por 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.

• Os 8 vértices são os pontos A, B, C, D, E, F, G, H.

• As 12 arestas são os segmentos \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{AD},\overline{AE},\overline{EF},\overline{BF},\overline{FG},\overline{GH},\overline{EH},\overline{CG},\overline{DH}\).

• As 6 faces são os paralelogramos ABCD, ABEF, CDHG, ADHE, BCGF, EFGH.

Classificação do paralelepípedo

Os paralelepípedos podem ser classificados de duas maneiras distintas. Há os paralelepípedos retos e os paralelepípedos oblíquos. O paralelepípedo é reto quando a sua aresta lateral forma um ângulo de 90° com a aresta da base e é oblíquo quando existe uma inclinação diferente de 90° entre a aresta da base e a aresta lateral.

O paralelepípedo reto possui fórmulas específicas para o cálculo de volume, área total e diagonal. Vejamos a seguir cada uma delas.

Fórmulas do paralelepípedo

As fórmulas do paralelepípedo servem para calcular o volume, a área total e a diagonal de um paralelepípedo reto. O paralelepípedo oblíquo possui fórmula para o cálculo do volume, porém ele não possui fórmula específica para o cálculo da área e da diagonal, por causa dos formatos que ele pode assumir.

• Fórmula para cálculo do volume do paralelepípedo

Para calcular o volume de um paralelepípedo qualquer (reto ou oblíquo), utilizamos a fórmula:

• \(A_b\):  área da base

• h: altura do paralelepípedo

Especificamente no paralelepípedo reto, a base é composta por um retângulo. Assim, a área da base é igual ao produto entre as duas dimensões da base. Para calcular o volume, basta multiplicar o valor pela altura. Logo, o volume de um paralelepípedo reto é o produto entre o comprimento, a largura e a altura.

• Fórmula para cálculo de área do paralelepípedo

A área de um sólido geométrico é a soma das áreas das suas faces. Como as faces do paralelepípedo retângulo são todas retângulos, a área de cada face é igual ao produto entre o comprimento e a largura da face. Entretanto, faces paralelas possuem a mesma medida, então para calcular a área de um paralelepípedo reto utilizamos a fórmula:

• Fórmula para cálculo da diagonal do paralelepípedo

Conhecemos como diagonal de um paralelepípedo o segmento de reta que liga um vértice ao vértice oposto a ele, como na imagem a seguir:

Para calcular o comprimento da diagonal de um paralelepípedo reto, utilizamos a fórmula:

Leia também: Fórmulas para cálculo do volume dos principais sólidos geométricos

Exercícios resolvidos sobre paralelepípedo

Questão 1

Uma caixa possui formato de um paralelepípedo reto com dimensões de 50 cm de largura, 85 cm de comprimento e 62 cm de altura. A medida da área total dessa caixa é de:

A) 25.240 cm²

B) 26.120 cm²

C) 27.000 cm²

D) 28.150 cm²

E) 28.320 cm²

Resolução:

Alternativa A

Calculando a área total, temos que:

\(A=2\left(50\cdot85+50\cdot62+62\cdot85\right)\)

\(A=2\cdot12.620\)

\(A=25.240\ cm^2\ \ \)

Questão 2

(IFG 2017) A água da piscina de saltos ornamentais do Centro Aquático Maria Lenk, no Parque Olímpico da Barra (Rio 2016), ficou verde. O Comitê Olímpico justificou a coloração devido a 80 litros de peróxido de hidrogênio (água oxigenada) jogados na água, que criou uma reação para o cloro que neutralizou sua habilidade de matar organismos. Para a competição, a água de toda a piscina foi trocada. Suponha que essa piscina tenha o mesmo volume de um paralelepípedo reto com 23 metros de comprimento, 18 metros de largura e 9 metros de profundidade. Qual o volume de água que foi trocado desta piscina, em litros?  (Adote 1 m³ = 1000 litros).

A) 3,726 milhões.

B) 4,140 milhões.

C) 2,070 milhões.

D) 1,620 milhões.

E) 2,125 milhões.

Resolução:

Alternativa A

Para calcular o volume, multiplicaremos as três dimensões:

\(V=18\cdot9\cdot23\)

\(V=3726\ m³\)

Como o volume é dado em litros, multiplicaremos por 1000:

\(V\ =\ 3726\ \cdot1000\ =\ 3\ 726\ 000\ litros\)