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Área do cubo

Matemática

O cubo é um sólido geométrico tridimensional formado por seis quadrados congruentes. Sua área é igual à soma das áreas desses quadrados.
Cubo: sólido geométrico formado por seis quadrados
Cubo: sólido geométrico formado por seis quadrados
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O cubo é um sólido geométrico em que todas as faces são quadrados congruentes. Dessa maneira, ele é classificado como poliedro. Além disso, também pertence ao conjunto dos poliedros convexos e dos poliedros de Platão.

A área de um poliedro e, consequentemente, do cubo é a soma das áreas dos polígonos que o formam. Ao somar todas essas áreas, é possível encontrar uma fórmula para o cálculo da área do cubo, que é o que nos interessa.

Cubo: prisma cujas faces são quadrados
Cubo: prisma cujas faces são quadrados

Antes, porém, é necessário saber que a área de um poliedro é dividida em Área da base e Área lateral. Essas duas são importantes definições que eventualmente são utilizadas em vestibulares e no Enem.

Área da Base

Todo cubo é também um prisma de base quadrada. Como os prismas possuem duas bases iguais, é necessário calcular apenas uma área da base do cubo:

Ab = l2

l é a medida da aresta do cubo e a medida do lado do quadrado da base. Essa fórmula resulta do fato de a base ser quadrada e, por isso, é igual à área do quadrado. Essa área também é comumente apresentada como a “tampa” de algum sólido geométrico de formato cúbico.

Bases do cubo

A fórmula acima deve ser utilizada para calcular apenas uma dessas áreas.

Área lateral

É a área das faces do cubo que não são bases, isto é, do restante da figura. Na imagem abaixo, essa área está destacada em verde mais escuro.

Área lateral do cubo

Os polígonos que constituem a área lateral de um cubo são quatro quadrados. Portanto, a área lateral do cubo será quatro vezes a área do quadrado:

Al = 4·l2

→ Área total

Não devemos falar no conteúdo do cubo, mas somente na superfície que o limita. A área total dessa superfície é obtida pela soma das áreas das duas bases com a área lateral. A fórmula para esse cálculo é a seguinte:

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At = 2·Ab + Al

Substituindo os valores encontrados anteriormente para a área da base e área lateral, teremos:

At = 2·l2 + 4·l2

At = 6·l2

Observação: o volume de um sólido geométrico é comparável àquilo que cabe dentro dele ou ao espaço que ele ocupa. Já a área é comparável ao material gasto para pintar esse sólido por fora.

Em resumo, a área de um prisma é a soma das áreas de suas faces laterais. Como o cubo é formado por seis quadrados congruentes, então, a área total do cubo é seis vezes a área de sua base.

Exemplo

Um professor de matemática apaixonado por probabilidade resolveu dar de aniversário à sua namorada um pingente em forma de dado folheado a ouro. Sabendo que o valor do ouro é de R$ 0,90 por mm2, que o pingente já vem de fábrica na cor vermelha e que a aresta do cubo do pingente mede 7 mm, responda:

a) Quanto o professor gastou para deixar duas faces opostas em vermelho, folheando as outras faces?

Resposta: Duas faces opostas de um cubo são suas bases; as outras são faces laterais. A área lateral de um cubo pode ser obtida pela seguinte fórmula:

Al = 4·l2

Al = 4·72

Al = 4·49

Al = 196 mm2

Desse modo, o professor gastaria 0,9·196 = 176,4 (R$ 176,40) para folhear a área lateral do cubo.

b) Quanto o professor gastará para folhear o cubo inteiro?

At = 6·l2

At = 6·72

At = 6·49

At = 6·49

At = 294 mm2

O valor gasto será 0,9·294 = 264,6 (R$ 264,60).

 

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Área do cubo"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-cubo.htm. Acesso em 20 de julho de 2019.

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Lista de Exercícios
Questão 1

Qual é a área total de um cubo cujas arestas medem 15 centímetros?

a) 550 cm2

b) 1350 cm2

c) 1450 cm2

d) 1800 cm2

e) 1850 cm2

Questão 2

Uma caixa de presentes foi revestida com um papel para aprimorar sua decoração. Sabendo que cada centímetro quadrado desse papel custa R$ 0,10, quanto foi pago para revestir essa caixa, sabendo que não é necessário revestir sua tampa e que ela tem formato de cubo de aresta igual a 20 cm?

a) R$ 100,00

b) R$ 140,00

c) R$ 200,00

d) R$ 240,00

e) R$ 300,00

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