Área do cubo

O cubo é um sólido geométrico em que todas as faces são quadrados congruentes. Dessa maneira, ele é classificado como poliedro. Além disso, também pertence ao conjunto dos poliedros convexos e dos poliedros de Platão.

A área de um poliedro e, consequentemente, do cubo é a soma das áreas dos polígonos que o formam. Ao somar todas essas áreas, é possível encontrar uma fórmula para o cálculo da área do cubo, que é o que nos interessa.

Cubo: prisma cujas faces são quadrados

Antes, porém, é necessário saber que a área de um poliedro é dividida em Área da base e Área lateral. Essas duas são importantes definições que eventualmente são utilizadas em vestibulares e no Enem.

→ Área da Base

Todo cubo é também um prisma de base quadrada. Como os prismas possuem duas bases iguais, é necessário calcular apenas uma área da base do cubo:

A_b = l²

l é a medida da aresta do cubo e a medida do lado do quadrado da base. Essa fórmula resulta do fato de a base ser quadrada e, por isso, é igual à área do quadrado. Essa área também é comumente apresentada como a “tampa” de algum sólido geométrico de formato cúbico.

A fórmula acima deve ser utilizada para calcular apenas uma dessas áreas.

→ Área lateral

É a área das faces do cubo que não são bases, isto é, do restante da figura. Na imagem abaixo, essa área está destacada em verde mais escuro.

Os polígonos que constituem a área lateral de um cubo são quatro quadrados. Portanto, a área lateral do cubo será quatro vezes a área do quadrado:

A_l = 4·l²

→ Área total

Não devemos falar no conteúdo do cubo, mas somente na superfície que o limita. A área total dessa superfície é obtida pela soma das áreas das duas bases com a área lateral. A fórmula para esse cálculo é a seguinte:

A_t = 2·A_b + A_l

Substituindo os valores encontrados anteriormente para a área da base e área lateral, teremos:

A_t = 2·l² + 4·l²

A_t = 6·l²

Observação: o volume de um sólido geométrico é comparável àquilo que cabe dentro dele ou ao espaço que ele ocupa. Já a área é comparável ao material gasto para pintar esse sólido por fora.

Em resumo, a área de um prisma é a soma das áreas de suas faces laterais. Como o cubo é formado por seis quadrados congruentes, então, a área total do cubo é seis vezes a área de sua base.

Exemplo

Um professor de matemática apaixonado por probabilidade resolveu dar de aniversário à sua namorada um pingente em forma de dado folheado a ouro. Sabendo que o valor do ouro é de R$ 0,90 por mm², que o pingente já vem de fábrica na cor vermelha e que a aresta do cubo do pingente mede 7 mm, responda:

a) Quanto o professor gastou para deixar duas faces opostas em vermelho, folheando as outras faces?

Resposta: Duas faces opostas de um cubo são suas bases; as outras são faces laterais. A área lateral de um cubo pode ser obtida pela seguinte fórmula:

A_l = 4·l²

A_l = 4·7²

A_l = 4·49

A_l = 196 mm²

Desse modo, o professor gastaria 0,9·196 = 176,4 (R$ 176,40) para folhear a área lateral do cubo.

b) Quanto o professor gastará para folhear o cubo inteiro?

A_t = 6·l²

A_t = 6·7²

A_t = 6·49

A_t = 6·49

A_t = 294 mm²

O valor gasto será 0,9·294 = 264,6 (R$ 264,60).

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática