Lei dos senos

Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade relacionar os ângulos do triângulo com as medidas dos lados por meio das seguintes relações: seno, cosseno e tangente. Essas relações utilizam o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa. Observe:

Seno: cateto oposto / hipotenusa

Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa

Tangente: cateto oposto / cateto adjacente

Essas relações somente são válidas se aplicadas no triângulo retângulo, aquele que possui um ângulo reto (90º) e outros dois ângulos agudos. Para triângulos quaisquer, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos com o objetivo de calcular medidas e ângulos desconhecidos. Enfatizaremos neste texto a lei dos senos e mostraremos sua fórmula e alguns exemplos de cálculos.

Fórmula que representa a lei dos senos:

   a    =    b    =    c    
senA    senB    senC 

Na lei dos senos, utilizamos relações que envolvem o seno do ângulo e a medida oposta ao ângulo.

Exemplos:

1º) Determine o valor de x no triângulo a seguir.

sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3 ou 0,865
                                             2

sen45º = √2 ou 0,705
2

    x     =    100   
sen60°    sen45°

   x   =  100 
0,866  0,707 

0,707x = 86,6

x = 122,5

2º) No triângulo a seguir, temos dois ângulos (45º e 105º, respectivamente), e um dos lados mede 90 metros. Com base nesses valores, determine a medida de x.

Para determinar a medida de x, devemos utilizar a lei dos senos, mas, para isso, precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo do triângulo. Para tal cálculo, utilizaremos a seguinte definição: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.

α + 105º + 45º = 180º

α + 150º = 180º

α = 180º – 150º

α = 30º

Agora vamos aplicar a lei dos senos:

   x    =   90  
sen45°  sen30°

   x    =   90  
0,707      0,5  

0,5x = 63,63

x = 127,26

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Lei dos senos"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/lei-dos-senos.htm. Acesso em 21 de janeiro de 2022.