Lei dos senos

A lei dos senos é uma expressão matemática que relaciona os lados de um triângulo qualquer com seus ângulos. De acordo com esta lei, para um triângulo qualquer, a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante.

Leia também: Secante, cossecante e cotangente — as razões inversas das razões trigonométricas cosseno, seno e tangente

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre lei dos senos
• 2 - Videoaula sobre lei dos senos
• 3 - O que é seno?
• 4 - O que diz a lei dos senos?
• 5 - Qual é a fórmula da lei dos senos?
• 6 - Demonstração e aplicação da lei dos senos
• 7 - Quando se aplica a lei dos senos?
• 8 - Lei dos senos no triângulo retângulo
• 9 - Exercícios resolvidos sobre lei dos senos

Trigonometria no triângulo retângulo

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Ângulos

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Resumo sobre lei dos senos

• A lei dos senos é uma relação matemática entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer.

• A fórmula para a lei dos senos é asen $\frac{a}{sen\hat{A}}=\frac{b}{sen\hat{B}}=\frac{c}{sen\hat{C}}$, em que a, b e c são os lados de um triângulo e $\hat{A}$, $\hat{B}$ e $\hat{C}$ são os ângulos opostos, respectivamente.

• É interessante aplicar a lei dos senos quando são conhecidos dois ângulos de um triângulo e um dos lados opostos a esses ângulos.

• Determinar o ângulo de um triângulo por meio da lei dos senos pode ser um processo inconclusivo, pois o seno obtido pode indicar dois ângulos diferentes: um agudo e um obtuso.

Videoaula sobre lei dos senos

O que é seno?

Seno é uma função trigonométrica, e seu valor depende do ângulo considerado. Podemos obter o seno de um ângulo de diferentes maneiras. No caso de um ângulo interior a um triângulo retângulo, o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.

Já para ângulos superiores a 90°, o uso do ciclo trigonométrico é mais indicado. Por exemplo, sabendo que o seno de 30° vale $\frac{1}2$, concluímos que o seno de 150° também vale $\frac{1}2$.

O que diz a lei dos senos?

Seja ABC um triângulo qualquer, com lado a oposto ao ângulo $\hat{A}$, lado b oposto ao ângulo $\hat{B}$ e lado c oposto ao ângulo $\hat{C}$.

Segundo a lei dos senos, as razões entre cada lado desse triângulo e o seno dos ângulos opostos correspondentes são iguais.

Qual é a fórmula da lei dos senos?

Em notação matemática, para um triângulo ABC com lados opostos medindo a, b e c, respectivamente, a fórmula da lei dos senos é:

$\frac{a}{sen\hat{A}}=\frac{b}{sen\hat{B}}=\frac{c}{sen\hat{C}}$

• Exemplo:

Um triângulo ABC possui ângulos $\hat{A}=40º$ e $\hat{B}=20º$. Sabendo que o lado oposto ao vértice A mede 0,5 cm, qual a medida aproximada do lado oposto ao vértice $\hat{C}$? Use a aproximação sen 40° = 0,643.

Resolução:

Como a soma dos ângulos de um triângulo é 180°, concluímos que $\hat{C}=120º$. Seja c o lado oposto ao vértice $\hat{C}$. Assim, podemos aplicar a lei dos senos relacionando os lados a e c com os senos dos respectivos ângulos opostos:

$\frac{a}{sen\ \hat{A}}=\frac{c}{sen\ \hat{C}}$

$\frac{0,5}{sen\ 40º}=\frac{c}{sen\ 120º}$

$0,5⋅\frac{\sqrt3}2=c⋅0,643$

$c=0,673\ cm$

Importante: Note que não foi necessário utilizar as três razões presentes na lei dos senos para resolver o exemplo.

Demonstração e aplicação da lei dos senos

Vejamos de onde vem a lei dos senos e como aplicá-la. Para a demonstração, considere a figura auxiliar abaixo, em que o triângulo ABC é dividido em dois triângulos retângulos com um lado em comum.

Perceba que sen $sen\ \hat{C}=\frac{h}B$ e $sen\ \hat{B}=\frac{h}c$. Ou seja, temos duas expressões para h:

$h=b⋅sen\ \hat{C}$

$h=c⋅sen\ \hat{B}$

Consequentemente,

$b⋅sen\ \hat{C}=c⋅sen\ \hat{B}$

$\frac{b}{sen\ \hat{B}}=\frac{c}{sen\ \hat{C}}$

Agora, vamos retornar à figura auxiliar do triângulo ABC e considerar a altura H relativa ao vértice C:

Assim, temos que sen $sen\ \hat{A}=\frac{H}b$ e $sen\ \hat{B}=\frac{H}a$. Ou seja:

$H=b⋅sen\ \hat{A}$

$H=a⋅sen\ \hat{B}$

Consequentemente,

$b⋅sen\ \hat{A}=a⋅sen\ \hat{B}$

$\frac{b}{sen\hat{B}} = \frac{ a}{sen \hat{A}}$

Combinando esse resultado com a expressão alcançada por meio da primeira figura, obtemos a lei dos senos:

$\frac{a}{sen\ \hat{A}}=\frac{b}{sen\ \hat{B}}=\frac{c}{sen\ \hat{C}}$

• Exemplo:

Se ABC é um triângulo com $\hat{A}=12°$, $\hat{C}=150°$ e lado c, oposto a $\hat{C}$, medindo 5, qual a medida do lado a, oposto a $\hat{A}$? Use a aproximação sen 12° = 0,208.

Resolução:Pela lei dos senos:

$\frac{a}{sen\ \hat{A}}=\frac{c}{sen\ \hat{C}}$

$\frac{a}{sen\ 12°}=\frac{5}{sen\ 150°}$

$a=2,08$

Quando se aplica a lei dos senos?

Aplicamos a lei dos senos quando sabemos a medida de dois ângulos e a medida de um dos lados opostos a esses ângulos. Imagine a seguinte situação: dado um triângulo ABC, sabemos a medida de dois lados e de um dos ângulos opostos a um dos lados. Nosso objetivo é determinar a medida do ângulo oposto ao outro lado.

Quando aplicamos a lei dos senos nesse caso, teremos o seno do ângulo procurado. No entanto, esse seno pode corresponder a dois ângulos diferentes. Considere um exemplo em que o resultado obtido foi $sen\ α=\frac{\sqrt2}2$. Podemos ter $α=45°$ ou $α=135°$. Portanto, para a determinação de um ângulo, a lei dos senos não é totalmente eficaz.

Lei dos senos no triângulo retângulo

Considere um triângulo retângulo ABC com catetos medindo a e b e hipotenusa c. Portanto, $\hat{C}=150°$. Aplicando a lei dos senos e lembrando que sen 90° = 1, concluímos que:

$\frac{a}{sen\ \hat{A}}=\frac{b}{sen\ \hat{B}}=c$

Veja também: Os 4 erros mais cometidos na Trigonometria básica

Exercícios resolvidos sobre lei dos senos

Questão 1

(UFPB — adaptado) A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para medir a distância entre esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 200 m do ponto A e na mesma margem do rio onde se encontra o ponto A. Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os ângulos $\hat{C}$ e $\hat{A}$ mediam, respectivamente, 30° e 105°, conforme ilustrado na figura a seguir.

Com base nessas informações, qual a distância, em metros, do ponto A ao ponto B?

Resolução:

Como a soma dos ângulos inteiros de um triângulo é 180°, temos que $\hat{B}=45º$. Aplicando a lei dos senos:

$\frac{c}{sen\ \hat{C}}=\frac{b}{sen\ \hat{B}}$

$\frac{c}{sen\ 30°}=\frac{200}{sen\ 45°}$

$c=100\sqrt2\ m$

Questão 2:

(Unifor — adaptado) Qual a medida do lado AB do triângulo abaixo?

Resolução:

Aplicando a lei dos senos:

$\frac{c}{sen\ \hat{C}}=\frac{a}{sen\ \hat{A}}$

$\frac{c}{sen\ 45°}=\frac{12}{sen\ 120°}$

$c=4\sqrt6\ m$

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática