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Seno, cosseno e tangente

Matemática

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Seno, cosseno e tangente são os nomes dados às razões trigonométricas. Grande parte dos problemas que envolvem cálculos de distância é resolvida utilizando-se a trigonometria. E para isso, é muito importante compreender seus fundamentos, começando pelo triângulo retângulo.

As razões trigonométricas são também muito importantes, pois elas relacionam as medidas de dois lados do triângulo com um dos ângulos agudos, associando essa relação com um número real.

Seno, cosseno e tangente são relações estudadas em triângulos.
Seno, cosseno e tangente são relações estudadas em triângulos.


Veja mais: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Características do triângulo retângulo

O triângulo retângulo é formado por um ângulo de 90° (ângulo reto). Os demais ângulos são menores que 90º, ou seja, são agudos, e, além disso, sabemos que os maiores lados estão sempre opostos aos maiores ângulos. No triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e está “à frente” do ângulo reto, os demais lados são chamados de catetos.

No triângulo acima, temos que os lados que medem c e b são os catetos, e o lado que mede a é a hipotenusa. Em todo triângulo retângulo, a relação conhecia como teorema de Pitágoras é válida.

a2 = b2 + c2           

Os catetos, daqui em diante, também receberão nomes especiais. As nomenclaturas dos catetos dependerão do ângulo de referência. Considerando o ângulo em azul na imagem acima, temos que o cateto que mede b é o cateto oposto, e o cateto que está ao lado do ângulo, ou seja, que mede c é o cateto adjacente.

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Seno

Antes de definir uma fórmula para o seno de um ângulo, vamos entender a ideia de seno. Imagine uma rampa, nela podemos determinar a razão entre a altura e o percurso, certo? Essa razão chamaremos de seno do ângulo α.

Assim,

sen α =   altura 
             percurso 

Cosseno

De maneira análoga à ideia do seno, temos o sentido do cosseno, entretanto, em uma rampa, o cosseno é a razão entre o afastamento em relação ao solo e o percurso na rampa.

Assim:

cos α = afastamento
              percurso

Tangente

Também de modo semelhante às ideias de seno e cosseno, a tangente é a razão entre a altura e o afastamento de uma rampa. 

Assim:

tg α = altura
        afastamento

A tangente fornece-nos o índice de subida.

Leia também: Trigonometria em um triângulo qualquer

Relação entre seno, cosseno e tangente

De modo geral, podemos definir então seno, cosseno e tangente em um triangulo retângulo qualquer utilizando as ideias anteriores. Veja a seguir:

Tomando primeiramente o ângulo α como referencial, temos:

sen α =   Cateto oposto  =  c
                 Hipotenusa         a

cos α =   Cateto adjacente  =  b
                     Hipotenusa          a

tg α =   Cateto oposto       =     c
           Cateto adjacente           b

Tomando agora o ângulo β como referencial, temos:

sen β =   Cateto oposto  =  b
                Hipotenusa          a

cos β =   Cateto adjacente  =  c
                     Hipotenusa          a

tg β =   Cateto oposto       = b
            Cateto adjacente      c

Tabelas trigonométricas

Existem três valores de ângulos que devemos saber. São eles:

Os demais valores são dados nos enunciados dos exercícios ou podem ser conferidos na tabela seguinte, mas não se preocupe, não é necessário tê-los memorizados (exceto os da tabela anterior).

Ângulo  (°)

seno

cosseno

tangente

 

Ângulo (°)

seno

cosseno

tangente

1

0,017452

0,999848

0,017455

 

46

0,71934

0,694658

1,03553

2

0,034899

0,999391

0,034921

 

47

0,731354

0,681998

1,072369

3

0,052336

0,99863

0,052408

 

48

0,743145

0,669131

1,110613

4

0,069756

0,997564

0,069927

 

49

0,75471

0,656059

1,150368

5

0,087156

0,996195

0,087489

 

50

0,766044

0,642788

1,191754

6

0,104528

0,994522

0,105104

 

51

0,777146

0,62932

1,234897

7

0,121869

0,992546

0,122785

 

52

0,788011

0,615661

1,279942

8

0,139173

0,990268

0,140541

 

53

0,798636

0,601815

1,327045

9

0,156434

0,987688

0,158384

 

54

0,809017

0,587785

1,376382

10

0,173648

0,984808

0,176327

 

55

0,819152

0,573576

1,428148

11

0,190809

0,981627

0,19438

 

56

0,829038

0,559193

1,482561

12

0,207912

0,978148

0,212557

 

57

0,838671

0,544639

1,539865

13

0,224951

0,97437

0,230868

 

58

0,848048

0,529919

1,600335

14

0,241922

0,970296

0,249328

 

59

0,857167

0,515038

1,664279

15

0,258819

0,965926

0,267949

 

60

0,866025

0,5

1,732051

16

0,275637

0,961262

0,286745

 

61

0,87462

0,48481

1,804048

17

0,292372

0,956305

0,305731

 

62

0,882948

0,469472

1,880726

18

0,309017

0,951057

0,32492

 

63

0,891007

0,45399

1,962611

19

0,325568

0,945519

0,344328

 

64

0,898794

0,438371

2,050304

20

0,34202

0,939693

0,36397

 

65

0,906308

0,422618

2,144507

21

0,358368

0,93358

0,383864

 

66

0,913545

0,406737

2,246037

22

0,374607

0,927184

0,404026

 

67

0,920505

0,390731

2,355852

23

0,390731

0,920505

0,424475

 

68

0,927184

0,374607

2,475087

24

0,406737

0,913545

0,445229

 

69

0,93358

0,358368

2,605089

25

0,422618

0,906308

0,466308

 

70

0,939693

0,34202

2,747477

26

0,438371

0,898794

0,487733

 

71

0,945519

0,325568

2,904211

27

0,45399

0,891007

0,509525

 

72

0,951057

0,309017

3,077684

28

0,469472

0,882948

0,531709

 

73

0,956305

0,292372

3,270853

29

0,48481

0,87462

0,554309

 

74

0,961262

0,275637

3,487414

30

0,5

0,866025

0,57735

 

75

0,965926

0,258819

3,732051

31

0,515038

0,857167

0,600861

 

76

0,970296

0,241922

4,010781

32

0,529919

0,848048

0,624869

 

77

0,97437

0,224951

4,331476

33

0,544639

0,838671

0,649408

 

78

0,978148

0,207912

4,70463

34

0,559193

0,829038

0,674509

 

79

0,981627

0,190809

5,144554

35

0,573576

0,819152

0,700208

 

80

0,984808

0,173648

5,671282

36

0,587785

0,809017

0,726543

 

81

0,987688

0,156434

6,313752

37

0,601815

0,798636

0,753554

 

82

0,990268

0,139173

7,11537

38

0,615661

0,788011

0,781286

 

83

0,992546

0,121869

8,144346

39

0,62932

0,777146

0,809784

 

84

0,994522

0,104528

9,514364

40

0,642788

0,766044

0,8391

 

85

0,996195

0,087156

11,43005

41

0,656059

0,75471

0,869287

 

86

0,997564

0,069756

14,30067

42

0,669131

0,743145

0,900404

 

87

0,99863

0,052336

19,08114

43

0,681998

0,731354

0,932515

 

88

0,999391

0,034899

28,63625

44

0,694658

0,71934

0,965689

 

89

0,999848

0,017452

57,28996

45

0,707107

0,707107

1

 

90

1

 

 


Saiba também: Secante, cossecante e cotangente

Exercícios resolvidos

Questão 1 -  Determine o valor de x e y no triângulo a seguir.

Solução:

Veja no triângulo que o ângulo dado foi de 30°. Observando ainda o triângulo, temos que o lado que mede x é o cateto oposto ao ângulo de 30°, e o lado que mede y é o cateto adjacente ao ângulo de 30°. Assim, devemos buscar uma razão trigonométrica que relacione o que procuramos com que é dado (hipotenusa). Logo:

sen 30° =   Cateto oposto 
                    Hipotenusa    

cos 30° =   Cateto adjacente 
                      Hipotenusa      

Determinado o valor de x:

sen 30° =  Cateto oposto 
                            Hipotenusa           

sen 30° =  x
                  2

Olhando na tabela, temos que:

sen 30° = 1
                 2

Substituindo na equação, teremos:

1 = x
2    2

x = 1

De modo análogo, consideraremos

Assim: 

Cos 30° = √3 
                  2

cos 30° =   Cateto adjacente 
                       Hipotenusa 

cos 30° = Y
                     2     

√3 = Y
 2     2

y = √3

Questão 2 – (PUC-SP) Qual é o valor de x na figura seguinte?

Solução:

Visualizando o triângulo maior, observe que y é oposto ao ângulo de 30° e que 40 é a hipotenusa, ou seja, podemos usar a razão trigonométrica seno.

sen 30° = Y
               40

    1   =  Y
     2      40

    2 y = 40
     y = 20

Olhando agora para o triângulo menor, veja que temos o valor do cateto oposto e buscamos o valor de x, que é o cateto adjacente. A relação trigonométrica que envolve esses dois catetos é a tangente. Assim:

tg 60°  = 20
               x

√3= 20
       x

√3 x = 20

x = 20  ·  √3
     √3     √3

x = 20√3
       3
 

 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

LUIZ, Robson. "Seno, cosseno e tangente"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm. Acesso em 25 de fevereiro de 2020.

Assista às nossas videoaulas
Lista de Exercícios
Questão 1

(UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo um ângulo de 30° (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1.000 metros, a altura atingida pelo avião, em metros, é:

Questão 2

(CEFET-MG - adaptado) Uma escada que mede 6m está apoiada em uma parede. Sabendo-se que ela forma com o solo um ângulo α e que

cos α = √5
             3


a distância de seu ponto de apoio no solo até a parede, em metros, é:

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