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Teorema da bissetriz interna

Matemática

O teorema a bissetriz interna, aplicado em triângulos, demonstra que a bissetriz de um ângulo divide o lado oposto ao ângulo de forma proporcional aos lados adjacentes.
A linha vermelha indica a bissetriz de um ângulo do triângulo.
A linha vermelha indica a bissetriz de um ângulo do triângulo.
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O teorema da bissetriz interna foi desenvolvido especificamente para triângulos e mostra que ao traçarmos a bissetriz interna de um ângulo do triângulo, o ponto de encontro da bissetriz com o lado oposto a ela divide esse lado em segmentos de reta proporcionais aos lados adjacentes desse ângulo. Com a aplicação do teorema da bissetriz interna é possível determinar qual é o valor do lado ou dos segmentos do triângulo utilizando a proporção entre eles.

Veja também: Mediana, bissetriz e altura de um triângulo — qual a diferença?

Resumo sobre teorema da bissetriz interna:

  • A bissetriz é uma semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.

  • O teorema da bissetriz interna é específico para triângulos.

  • Esse teorema prova que a bissetriz divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes ao ângulo.

Videoaula sobre o teorema da bissetriz interna

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Qual é o teorema da bissetriz?

Antes de entendermos o que o teorema da bissetriz interna diz, é importante saber o que é bissetriz de um ângulo. Ela se trata de uma semirreta que divide o ângulo em duas partes congruentes, ou seja, duas partes que possuem a mesma medida.

Bissetriz de um ângulo A indicado em laranja.
Demarcação da bissetriz AD de um ângulo.

Entendendo o que é a bissetriz, notamos que existe ela existe no ângulo interno de um triângulo. Quando delineamos a bissetriz de um ângulo do triângulo, ela dividirá o lado oposto em dois segmentos. A respeito da bissetriz interna, seu teorema diz que os dois segmentos divididos por ela são proporcionais aos lados adjacentes do ângulo.

 Triângulo ABC em cor bege com bordas laranjas e ângulo indicado em verde sendo traçado por uma bissetriz BD.

Perceba que a bissetriz divide o lado AC em dois segmentos, o AD e o DC. O teorema da bissetriz mostra que:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)

Saiba mais: Teorema de Pitágoras — outro teorema desenvolvido para triângulos  

Demonstração do teorema da bissetriz interna

No triângulo ABC abaixo, demarcaremos o segmento BD, que é a bissetriz desse triângulo. Além disso, traçaremos o prolongamento do seu lado CB e o segmento AE, paralelo a BD:

Triângulo ABC em cor bege com bissetriz BD e prolongamento AEB

O ângulo AEB é congruente ao ângulo DBC, pois CE é uma reta transversal aos segmentos paralelos AE e BD.

Aplicando o teorema de Tales, concluímos que:

\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

Agora, nos resta demonstrar que BE = AB.

Sendo x a medida do ângulo ABD e DBC, analisando o ângulo ABE, obtemos:

ABE = 180 – 2x

Sendo y a medida do ângulo EAB, temos a seguinte situação:

Triângulo ABC em cor bege, com bissetriz BD, prolongamento AEB e ângulos com incógnita no prolongamento.

Sabemos que a soma dos ângulos internos do triângulo ABE é 180°, então podemos calcular:

180 – 2x + x + y = 180

– x + y = 180 – 180

– x + y = 0

y = x

Se o ângulo x e o ângulo y possuem a mesma medida, o triângulo ABE é isósceles. Sendo assim, o lado AB = AE.

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180°, no triângulo ACE temos:

x + 180 – 2x + y = 180

– x + y = 180 – 180

– x + y = 0

y = x

Como y = x, o triângulo ACE é isósceles. Logo, os segmentos AE e AC são congruentes. Trocando AE por AC na razão, fica provado que:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

Exemplo:

Encontre o valor de x no triângulo a seguir:

Triângulo ABC branco, com lados de 6, 8 e 3 + x, com bissetriz BD traçada.

Analisando o triângulo, obtemos a seguinte razão:

\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)

Multiplicando de forma cruzada:

6x = 8 ⋅ 3

6x = 24

\(x=\frac{24}{6}\) 

x = 4

Leia também: Pontos notáveis de um triângulo — quais são eles?

Exercícios resolvidos sobre teorema da bissetriz interna

Questão 1

Analisando o triângulo a seguir, podemos afirmar que o valor de x é:

 Triângulo ABC branco, com lados de 27, 30 e 18, com bissetriz BD traçada.

A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

Resolução:
Alternativa D

Aplicando o teorema da bissetriz interna, obtemos o seguinte cálculo:

\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)

Multiplicando de forma cruzada:

\(27x=18\ \left(30-x\right)\)

\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)

\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)

\(45x\ =\ 540\ \)

\(x=\frac{540}{45}\)

\(x\ =\ 12\)

Questão 2

Analise o triângulo a seguir, sabendo que suas medidas foram dadas em centímetro.

 Triângulo ABC branco, com lados de 2x, 4x – 9 e 12 cm, com bissetriz BD traçada.

O perímetro do triângulo ABC é igual a:

A) 75 cm

B) 56 cm

C) 48 cm

D) 24 cm

E) 7,5 cm

Resolução:

Alternativa C

Aplicando o teorema da bissetriz, primeiramente encontraremos o valor de x:

\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)

\(5\ \left(4x-9\right)=2x\cdot7\)

\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)

\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)

\(6x\ =\ 45\ \)

\(x=\frac{45}{6}\)

\(x\ =\ 7,5\)

Assim, os lados desconhecidos medem:

\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)

\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)

Lembrando que a medida de comprimento usada foi o cm, o perímetro desse triângulo é igual a:

P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Teorema da bissetriz interna"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. Acesso em 28 de janeiro de 2022.

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