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Funções bijetoras

Matemática

Uma função é chamada de bijetora quando ela é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Gráfico de uma função que não pode ser considerada bijetora
Gráfico de uma função que não pode ser considerada bijetora
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Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro conjunto. Uma função é chamada de bijetora quando ela é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Portanto, para compreender bem o que é uma função bijetora, basta entender os conceitos de função injetora e sobrejetora.

As funções bijetoras também são chamadas de funções bijetivas ou bijeções. As funções injetoras são denominadas ainda de funções injetivas ou injeções, e as funções sobrejetoras também podem ser chamadas de funções sobrejetivas ou sobrejeções.

Funções Injetoras

Uma função é injetora quando elementos distintos do domínio têm imagens distintas no contradomínio. Em outras palavras, f é uma função injetora se, e somente se:

x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2) para todo x1 e x2 pertencente ao domínio de f

Um exemplo de função injetora é f(x) = 2x. Não existem dois pontos do domínio que estejam ligados ao mesmo ponto na imagem.

Já a função f(x) = x2 é um exemplo de função não injetora. Para verificar isso, basta usar elementos opostos do domínio, por exemplo, 2 e – 2:

f(2) = 22 = 4

f(– 2) = (– 2)2 = 4

Essa função possui elementos distintos do domínio com a mesma imagem no contradomínio, portanto, não é injetora.

Funções Sobrejetoras

Uma função é dita sobrejetora quando seu contradomínio é igual à sua imagem. Em outras palavras, uma função em que todo elemento do contradomínio possui um correspondente no domínio é uma função sobrejetora.

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Algebricamente, dada a função f:A → B, f é sobrejetora se:

Para todo y pertencente a B,

Existe x pertencente a A

Tal que f(x) = y

Funções Bijetoras

Portanto, uma função é considerada bijetora quando possui contradomínio igual à imagem e, ao mesmo tempo, quando elementos distintos do domínio têm imagens distintas. Quando isso acontece, cada elemento do domínio ficará ligado a um único elemento da imagem, e vice-versa. Além disso, todos os elementos do contradomínio estarão relacionados a algum elemento do domínio.

Exemplo de função bijetora:

f: R → R

f(x) = x

Essa função é chamada de função identidade. Ela liga valores do domínio a valores iguais no contradomínio. Isso faz com que todos os elementos do contradomínio sejam usados e, portanto, que o contradomínio seja igual à imagem. Além disso, não existem dois elementos distintos do domínio relacionados ao mesmo elemento da imagem, por isso, a função é bijetora.

Exemplo de função não bijetora:

f: N → N

f(x) = 2x

Observe que essa função é definida com contradomínio igual ao conjunto dos naturais, entretanto, a imagem dessa função só contém números pares. Como o contradomínio é igual à imagem, a função não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora.

 

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Funções bijetoras"; Brasil Escola. Disponível em <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-bijetoras.htm>. Acesso em 24 de maio de 2019.

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