Função sobrejetora

Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro. O primeiro conjunto é chamado de domínio da função, e o segundo é o contradomínio. Uma função pode ser classificada como injetora, sobrejetora e bijetora de acordo com o modo como os elementos do domínio são relacionados aos elementos do contradomínio. Neste artigo, discutimos quais características classificam uma função como sobrejetora.

Tópicos deste artigo

• 1 - Conceito de função sobrejetora
• 2 - Definição formal de função sobrejetora
• 3 - Exemplo:

Conceito de função sobrejetora

Uma função é sobrejetora quando seu contradomínio e imagem são o mesmo conjunto. Em outras palavras, uma função é sobrejetora quando todos os elementos do contradomínio estão relacionados a, pelo menos, um elemento do domínio.

O diagrama a seguir representa uma função na qual a imagem e o contradomínio são iguais.

Esse diagrama realmente representa uma função, pois cada elemento do primeiro conjunto está relacionado a um único elemento do segundo. Observe também que essa função é sobrejetora, já que o contradomínio (ou seja, o segundo conjunto) é igual à imagem da função.

A imagem de uma função é o conjunto dos elementos do contradomínio que estão ligados a algum elemento do domínio. Assim, as funções sobrejetoras também podem ser compreendidas como aquelas nas quais não “sobram” elementos no contradomínio, como é o caso do exemplo acima.

Definição formal de função sobrejetora

Dada uma função f, definida no conjunto A, com contradomínio igual ao conjunto B, a função f é sobrejetora se, e somente se, para todo y pertencente ao conjunto B, existe um x pertencente ao conjunto A, tal que f(x) = y.

Em outras palavras, a função f é sobrejetora se todo elemento do contradomínio está relacionado a, pelo menos, um elemento do domínio, o que pode ser traduzido para: uma função é sobrejetora se sua imagem e contradomínio são o mesmo conjunto.

Algebricamente, podemos escrever:

Exemplo:

A função f(x) = 2x, com domínio e contradomínio igual ao conjunto dos números reais, é sobrejetora, pois seu contradomínio é exatamente igual à sua imagem. Note que essa função não seria sobrejetora se fosse definida com domínio e contradomínio iguais ao conjunto dos números naturais, pois, por exemplo, o número 3 do contradomínio não estaria relacionado a nenhum elemento do domínio.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática