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Função sobrejetora

Uma função sobrejetora é aquela que possui imagem igual ao contradomínio, ou seja, em que todos os elementos do contradomínio estão relacionados a elementos do domínio.

Função sobrejetora: o contradomínio coincide com a imagem
Função sobrejetora: o contradomínio coincide com a imagem
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Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro. O primeiro conjunto é chamado de domínio da função, e o segundo é o contradomínio. Uma função pode ser classificada como injetora, sobrejetora e bijetora de acordo com o modo como os elementos do domínio são relacionados aos elementos do contradomínio. Neste artigo, discutimos quais características classificam uma função como sobrejetora.

Tópicos deste artigo

Conceito de função sobrejetora

Uma função é sobrejetora quando seu contradomínio e imagem são o mesmo conjunto. Em outras palavras, uma função é sobrejetora quando todos os elementos do contradomínio estão relacionados a, pelo menos, um elemento do domínio.

O diagrama a seguir representa uma função na qual a imagem e o contradomínio são iguais.

Esse diagrama realmente representa uma função, pois cada elemento do primeiro conjunto está relacionado a um único elemento do segundo. Observe também que essa função é sobrejetora, já que o contradomínio (ou seja, o segundo conjunto) é igual à imagem da função.

A imagem de uma função é o conjunto dos elementos do contradomínio que estão ligados a algum elemento do domínio. Assim, as funções sobrejetoras também podem ser compreendidas como aquelas nas quais não “sobram” elementos no contradomínio, como é o caso do exemplo acima.

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Definição formal de função sobrejetora

Dada uma função f, definida no conjunto A, com contradomínio igual ao conjunto B, a função f é sobrejetora se, e somente se, para todo y pertencente ao conjunto B, existe um x pertencente ao conjunto A, tal que f(x) = y.

Em outras palavras, a função f é sobrejetora se todo elemento do contradomínio está relacionado a, pelo menos, um elemento do domínio, o que pode ser traduzido para: uma função é sobrejetora se sua imagem e contradomínio são o mesmo conjunto.

Algebricamente, podemos escrever:

Exemplo:

A função f(x) = 2x, com domínio e contradomínio igual ao conjunto dos números reais, é sobrejetora, pois seu contradomínio é exatamente igual à sua imagem. Note que essa função não seria sobrejetora se fosse definida com domínio e contradomínio iguais ao conjunto dos números naturais, pois, por exemplo, o número 3 do contradomínio não estaria relacionado a nenhum elemento do domínio.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Função sobrejetora"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-sobrejetora.htm. Acesso em 06 de julho de 2022.

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Exercício 1

A respeito da definição de funções, assinale a alternativa correta:

a) Uma função é uma regra que relaciona elementos de dois conjuntos.

b) Dada a função f(x) = x2, com domínio igual ao conjunto dos números reais, - 2 é um elemento da imagem dessa função.

c) Uma função é sobrejetora quando domínio e imagem são o mesmo conjunto.

d) Uma função é uma regra que relaciona cada elemento do domínio a um único elemento do contradomínio.

e) O contradomínio e a imagem de uma função são sempre o mesmo conjunto.

Exercício 2

A respeito da definição de funções sobrejetoras, assinale a alternativa correta:

a) Uma função é sobrejetora quando cada elemento do contradomínio está relacionado a um único elemento do domínio.

b) Em um diagrama de uma função sobrejetora, não pode haver duas flechas com extremidades no mesmo ponto do contradomínio.

c) Toda função é sobrejetora.

d) Toda função injetora é sobrejetora.

e) Uma função é sobrejetora quando o contradomínio e a imagem são iguais.

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