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Função injetora

Matemática

Uma função injetora é aquela na qual cada elemento da imagem está relacionado a um único elemento do domínio.
A função injetora tem cada elemento da imagem relacionado a um único elemento do domínio
A função injetora tem cada elemento da imagem relacionado a um único elemento do domínio
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Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto A, chamado domínio, a um único elemento de um conjunto B, chamado contradomínio. Uma função pode ser classificada como injetora, sobrejetora ou ser ambos ao mesmo tempo. Quando ela é classificada como injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, passa a ser chamada bijetora.

Conceito de função injetora

Uma função injetora, também chamada de função injetiva, é aquela em que cada elemento da imagem está ligado a um único elemento do domínio. O diagrama a seguir ilustra o comportamento da função f(x) = 2x, em que o domínio é o conjunto dos naturais menores que 4, e o contradomínio é o conjunto dos naturais menores que 9.

Observe que nenhuma das flechas liga um elemento do conjunto B a dois elementos do conjunto A. Isso é possível nas funções, como é o caso da função f(x) = x2, na qual f(2) = f(– 2) = 4, ou seja, em que há elementos de B relacionados a dois elementos distintos em A. Logo, a função f(x) = 2x, no domínio e contradomínio definidos, é injetora.

Vale ressaltar que uma função pode ter dois elementos distintos de A ligados a um único elemento de B, mas o contrário não é possível pela definição de função.

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Portanto, o conceito mais fundamental de função injetora é: qualquer elemento que pertence à imagem de uma função injetora está relacionado a um único elemento de seu domínio.

Definição formal

Uma função f, definida:

f: A → B
f(x) = y

A função f é injetora se, e somente se, elementos distintos de B estão relacionados a elementos distintos de A. Algebricamente, dados a e b pertencentes ao conjunto A:

Algumas funções podem ser ou não injetoras dependendo do contradomínio definido para elas. A função f(x) = x2, por exemplo, não é injetora quando o seu contradomínio é o conjunto dos números reais, entretanto, se definirmos o contradomínio dessa função como o conjunto dos reais não negativos, ela passa a ser injetora.

Exemplo

A função f(x) = x é injetora independentemente do seu domínio e contradomínio. Essa função é injetora porque é a função identidade. Qualquer que seja o valor de x, o resultado obtido após a aplicação da função sobre ele será o próprio x. Portanto, cada elemento da imagem estará ligado a um único elemento do domínio.

Em geral, funções do primeiro grau são injetoras, e as funções do segundo não.


Por Luiz Paulo Moreira Silva
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Função injetora"; Brasil Escola. Disponível em <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm>. Acesso em 21 de setembro de 2018.

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