Domínio, contradomínio e imagem

Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto A a um único elemento do conjunto B. Nessa definição, o conjunto A é chamado de domínio, e o conjunto B é o contradomínio da função. Além desses dois conjuntos, existe um subconjunto do contradomínio chamado imagem.

A representação de uma função em forma algébrica pode ser feita da seguinte maneira:

Dados os conjuntos A e B, uma função f é a regra:

f: A → B
y = f(x)

A simbologia A → B significa que os elementos do conjunto A estão relacionados aos elementos do conjunto B por meio da função f. Em outras palavras, dado um elemento qualquer pertencente ao conjunto A, esse elemento será relacionado a um único elemento do conjunto B por meio da função f.

Se x é um número qualquer pertencente ao conjunto A, então x é chamado variável independente. Se y é um número qualquer do conjunto B, então y é chamado variável dependente. Em outras palavras, a variável independente tem seus valores determinados pelo domínio da função, e os valores da variável dependente são encontrados no contradomínio.

A variável independente é assim conhecida porque seus valores não dependem de outra variável ou da regra da função para existir. Seus valores necessitam apenas da definição do domínio da função. Já os valores da variável dependente, conforme o nome já indica, dependem da regra de formação da função e dos valores do domínio.

Domínio

Dada a função:

f: A → B
y = f(x)

O conjunto A é o domínio da função f. Esse conjunto é formado por todos os números que podem tomar o lugar de x na lei de formação da função, caso x seja a letra escolhida para representar a variável independente.

Todos os elementos que pertencem ao domínio de uma função são dominantes nela, ou seja, seus valores determinam os valores da outra variável. Por causa disso, esse nome foi escolhido para esse conjunto.

Exemplo:

f: N → Z
y = x²

O domínio dessa função é o conjunto dos números naturais. Portanto, os números que podem ser colocados no lugar de x, para encontrar seus respectivos valores no contradomínio, são:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Contradomínio

Dada a função:

f: A → B
y = f(x)

O seu contradomínio é o conjunto B. Esse conjunto é formado pelos elementos que podem tomar o lugar de y na lei de formação da função, caso y seja a letra escolhida para representar a variável dependente.

Todos os valores que pertencem ao contradomínio da função podem ser relacionados a um valor do domínio, mas também pode ocorrer de nem todos os elementos do contradomínio estarem relacionados a algum elemento do domínio.

Exemplo:

f: N → Z
y = x²

Nessa função, os elementos que pertencem ao conjunto dos números inteiros e que estão relacionados a algum elemento do domínio são apenas os quadrados perfeitos.

{0, 1, 4, 9, 16, 25, …}

Note que os números negativos, embora estejam no contradomínio, não foram “usados” nessa função.

Imagem

A imagem de uma função é o conjunto de todos os números do contradomínio que estão relacionados a algum elemento do domínio. Exemplo:

f: N → Z
y = x²

A imagem dessa função é justamente o conjunto dos quadrados perfeitos.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática