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Passo a passo para construção do gráfico da função do segundo grau

Matemática

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No Ensino Fundamental, funções são fórmulas matemáticas que associam cada número de um conjunto numérico (o domínio) a um único número pertencente a outro conjunto (o contradomínio). Quando essa fórmula é uma equação do segundo grau, temos uma função do segundo grau.

As funções podem ser representadas por figuras geométricas cujas definições coincidem com suas fórmulas matemáticas. É o caso da reta, que representa funções do primeiro grau, e da parábola, que representa funções do segundo grau. Essas figuras geométricas são chamadas de gráficos.

A ideia central da representação de função por um gráfico

Para desenhar o gráfico de uma função, é preciso avaliar qual elemento do contradomínio está relacionado com cada elemento do domínio e marcá-los, um a um, em um plano cartesiano. Quando todos esses pontos forem marcados, o resultado será justamente o gráfico de uma função.

Vale ressaltar que as funções do segundo grau, geralmente, são definidas em um domínio igual a todo o conjunto dos números reais. Esse conjunto é infinito e, por isso, é impossível marcar todos os seus pontos em um plano cartesiano. Desse modo, a alternativa é esboçar um gráfico que possa representar em parte a função avaliada.

Antes de qualquer coisa, lembre-se de que as funções do segundo grau possuem a seguinte forma:

y = ax2 + bx + c

Diante disso, apresentamos cinco passos que tornam possível a construção de um gráfico de função do segundo grau, exatamente como os que são exigidos no Ensino Médio.

Passo 1 – Avaliação geral da função

Existem alguns indicadores que ajudam a descobrir se o caminho certo está sendo tomado ao construir o gráfico de funções do segundo grau.

I - O coeficiente “a” de uma função do segundo grau indica sua concavidade, ou seja, se a > 0, a parábola será para cima e possuirá ponto de mínimo. Se a < 0, a parábola será para baixo e possuirá ponto de máximo.

II) O primeiro ponto A do gráfico de uma parábola pode ser facilmente obtido apenas observando o valor do coeficiente “c”. Desse modo, A = (0, c). Isso ocorre quando x = 0. Observe:

y = ax2 + bx + c

y = a·02 + b·0 + c

y = c

Passo 2 – Encontrar as coordenadas do vértice

O vértice de uma parábola é o seu ponto de máximo (se a < 0) ou de mínimo (se a > 0). Ele pode ser encontrado pela substituição dos valores dos coeficientes “a”, “b” e “c” nas fórmulas:

xv = – b
       2a

yv = –
        4a

 

Desse modo, o vértice V é dado pelos valores numéricos de xv e yv e pode ser escrito assim: V = (xv,yv).

Passo 3 – Pontos aleatórios do gráfico

É sempre bom indicar alguns pontos aleatórios cujos valores atribuídos à variável x sejam maiores e menores que xv. Isso lhe dará pontos antes e depois do vértice e tornarão o desenho do gráfico mais fácil.

Passo 4 – Se possível, determine as raízes

Quando existem, as raízes podem (e devem) ser incluídas no desenho do gráfico de uma função do segundo grau. Para encontrá-las, faça y = 0 para obter uma equação do segundo grau que possa ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Lembre-se de que resolver uma equação do segundo grau é o mesmo que encontrar suas raízes.

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A fórmula de Bhaskara depende da fórmula do discriminante. São elas:

x = – b ± √∆
     2a

∆ = b2 – 4ac

Passo 5 – Marcar todos os pontos obtidos no plano cartesiano e ligá-los, de modo a construir uma parábola

Lembre-se de que o plano cartesiano é formado por duas retas numéricas perpendiculares. Isso significa que, além de conter todos os números reais, essas retas formam um ângulo de 90°.

Exemplo de plano cartesiano e exemplo de parábola.

Exemplo de plano cartesiano e exemplo de parábola.

Exemplo

Construa o gráfico da função do segundo grau y = 2x2 – 6x.

Solução: Observe que os coeficientes dessa parábola são a = 2, b = – 6 e c = 0. Dessa maneira, pelo passo 1, podemos afirmar que:

1 – A parábola ficará para cima, pois 2 = a > 0.

2 – Um dos pontos dessa parábola, representado pela letra A, é dado pelo coeficiente c. Logo, A = (0,0).

Pelo passo 2, observamos que o vértice dessa parábola é:

xv = – b
      2a

xv = – (– 6)
     2·2

xv = 6
      4

xv = 1,5

 

yv = –
        4a

yv = – (b2 – 4·a·c)
      4·a

yv = – ((– 6)2 – 4·2·0)
     4·2

yv = – (36)
         8

yv = – 36
         8

yv = – 4,5

 

Logo, as coordenadas do vértice são: V = (1,5, – 4,5)

 

Utilizando o passo 3, escolheremos apenas dois valores para a variável x, um maior e outro menor que xv.

 

Se x = 1,

 

y = 2x2 – 6x

y = 2·12 – 6·1

y = 2·1 – 6

y = 2 – 6

y = – 4

 

Se x = 2,

 

y = 2x2 – 6x

y = 2·22 – 6·2

y = 2·4 – 12

y = 8 – 12

y = – 4

 

Logo, os dois pontos obtidos são B = (1, – 4) e C = (2, – 4)

 

Pelo passo 4, que não precisa ser feito caso a função não possua raízes, obtemos os seguintes resultados:

∆ = b2 – 4ac

∆ = (– 6)2 – 4·2·0

∆ = (– 6)2

∆ = 36

 

x = – b ± √∆
     2a

x = – (– 6) ± √36
  2·2

x = 6 ± 6
     4

x' = 12
      4

x' = 3

 

x'' = 6 – 6
     4

x'' = 0

 

Logo, os pontos obtidos por meio das raízes, tendo em vista que, para obter x = 0 e x = 3, foi preciso fazer y = 0, são: A = (0, 0) e D = (3, 0).

 

Com isso, obtemos seis pontos para desenhar o gráfico da função y = 2x2 – 6x. Agora basta cumprir o passo 5 para construí-lo definitivamente.

 

Gráfico: função do segundo grau do exemplo

 

 

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola.
O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Passo a passo para construção do gráfico da função do segundo grau"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/passo-passo-para-construcao-grafico-funcao-segundo-grau.htm. Acesso em 20 de setembro de 2019.

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Lista de Exercícios
Questão 1

O gráfico a seguir pertence a uma função f(x) do segundo grau, com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais. A respeito dessas funções, assinale a alternativa correta:

a) Toda função do segundo grau pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0.

b) O coeficiente “a” dessa função é positivo.

c) O valor do coeficiente “c”, nessa função, é igual a 9.

d) Não é possível determinar as raízes dessa função unicamente a partir de seu gráfico. Para isso, a lei de formação sempre será necessária.

e) f(2) = 0 e f(-2) = 0

Questão 2

A função f(x) = 2x2 + 4x – 6 está definida nos números reais. A respeito do gráfico dessa função, assinale a alternativa que for correta:

a) O vértice dessa função possui as coordenadas (1, – 8).

b) Uma das raízes dessa função possui as coordenadas (1, 0).

c) A concavidade dessa função está voltada para baixo. Isso acontece porque o valor do coeficiente a é negativo.

d) O coeficiente “c” dessa função é exatamente – 8, pois c é referente ao ponto mais baixo de uma função com concavidade voltada para cima.

e) O coeficiente “c” dessa função é exatamente 8, pois c é referente ao ponto mais alto de uma função com concavidade voltada para baixo.

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