Fatoração de expressão algébrica

A fatoração de expressão algébrica consiste em escrever uma expressão algébrica em forma de produto. Em casos práticos, isto é, na solução de alguns problemas que envolvem expressões algébricas, a fatoração é extremamente útil, pois, na maioria das situações, ela simplifica a expressão trabalhada.

Para realizar a fatoração de expressões algébricas, utilizaremos um resultado muito importante na matemática chamado teorema fundamental da aritmética, que afirma que qualquer número inteiro maior que 1 pode ser escrito na forma de produto de números primos, veja:

121 = 11 · 11

60 = 5 · 4 · 3

Acabamos de fatorar os números 121 e 60.

Leia também: Decomposição de um número em fatores primos

Tópicos deste artigo

• 1 - Métodos para fatorar expressões algébricas
• 2 - Exercícios resolvidos

Métodos para fatorar expressões algébricas

Agora veremos os principais métodos de fatoração, nos mais utilizados faremos uma breve justificativa geométrica. Veja:

• Fatoração por evidência

Considere o retângulo:

Observe que a área do retângulo azul mais a área do retângulo verde resultam no retângulo maior. Vamos analisar cada uma dessas áreas:

A_AZUL = b · x

A_VERDE = b · y

A_MAIOR = b · (x + y)

Assim, temos que:

A_MAIOR = A_AZUL + A_VERDE

b (x + y) = bx + by

• Exemplos

a) Para fatorar a expressão: 12x + 24y.

Nota-se que 12 é o fator em evidência, uma vez que ele aparece em ambas as parcelas, assim, para determinar os números que vão no interior dos parênteses, basta dividir cada parcela pelo fator em evidência.

12x : 12 = x

24y : 12 = 2y

12x + 24y = 12 · (x + 2y)

b) Para fatorar a expressão 21ab² – 70a²b.

Do mesmo modo, inicialmente, determina-se o fator em evidência, isto é, o fator que se repete nas parcelas. Veja que da parte numérica temos o 7 como fator comum, uma vez que ele é o único que divide ambos os números. Agora, em relação à parte literal, veja que se repete somente o fator ab, logo, o fator em evidência é: 7ab.

21ab² – 70a²b = 7ab (3b – 10^a)

Leia também: Divisão de polinômios: como fazer?

• Fatoração por agrupamento

A fatoração por agrupamento é decorrente da fatoração por evidência, a única diferença é que, em vez de termos um monômio como fator comum ou fator em evidência, teremos um polinômio, veja o exemplo:

Considere a expressão (a + b) · xy + (a + b) · wz²

Observe que o fator comum é o binômio (a + b), logo, a forma fatorada da expressão anterior é:

(a + b) · (xy + wz²)

• Diferença entre dois quadrados

Considere dois números a e b, quando temos a diferença do quadrado desses números, isto é, a² – b², então podemos escrevê-los como sendo o produto da soma pela diferença, ou seja:

a² – b² = (a + b) · (a – b)

• Exemplos

a) Para fatorar a expressão x² – y².

Podemos utilizar a diferença entre dois quadrados, logo:

x² – y² = (x + y) · (x – y)

b) Para fatorar 2.020² – 2.019².

Podemos utilizar a diferença entre dois quadrados, logo:

2.020² – 2.019² = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)

2.020² – 2.019² = 4.039 · 1

2.020² – 2.019² = 4.039

• Trinômio do quadrado perfeito

Considere o quadrado seguinte de lado (a + b) e observe as áreas dos quadrados e retângulos formados em seu interior.

Veja que a área do quadrado maior é dada por (a + b)², mas, por outro lado, a área do quadrado maior pode ser obtida pela soma dos quadrados e retângulos do seu interior, assim:

(a + b)² = a² + ab + ab + b²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

De maneira análoga, temos que:

(a – b)² = a² – 2ab + b²

• Exemplo

Considere a expressão x² + 12x + 36.

Para fatorar uma expressão desse tipo, basta identificar o coeficiente da variável x e o coeficiente independente, e comparar com a fórmula dada, veja:

x² + 12x + 36

a² + 2ab + b²

Fazendo as comparações, veja que x = a, 2b = 12 e b² = 36; das igualdades, temos que b = 6, assim a expressão fatorada é:

x² + 12x + 36 = (x + 6)²

• Trinômio do segundo grau

Considere o trinômio ax² + bx + c. A sua forma fatorada pode ser encontrada utilizando suas raízes, ou seja, os valores de x que zeram tal expressão. Para determinar os valores que zeram tal expressão, basta resolver a equação ax² + bx + c = 0 utilizando o método que achar conveniente. Aqui ressaltamos o método mais conhecido: método de Bhaskara.

A forma fatorada do trinômio ax² + bx + c é:

ax² + bx + c = a · (x – x₁) · (x – x₂)

• Exemplo

Considere a expressão x² + x – 20.

O primeiro passo é determinar as raízes da equação x² + x – 20 = 0.

Assim a forma fatorada da expressão x² + x – 20 é:

(x – 4) · (x + 5)

• Cubo da diferença entre dois números

O cubo da diferença entre dois números a e b é dado por:

(a – b)³ = (a – b) · (a – b)²
(a – b)³ = (a – b) · (a² – 2ab + b²)

• Cubo da soma de dois números

De maneira análoga, temos que (a + b)³ = (a + b) · (a + b)² , logo:

(a + b)³ = (a + b) · (a² + 2ab + b²)

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Cefet-MG) Sendo o número n = 684² – 683², a soma dos algarismos de n é:

a) 14

b) 15

c) 16

d) 17

e) 18

Resolução

Alternativa d. Para determinar a soma dos algarismos de n, inicialmente fatorarmos a expressão, uma vez que calcular os quadrados e, em seguida, realizar a subtração geram trabalho desnecessário. Fatorando a expressão utilizando a diferença entre dois quadrados, temos:

n = 684² – 683²

n = (684 + 683) · (684 – 683)

n = 1.367 · 1

n = 1.367

Portanto, a soma dos algarismos de n é dada por 1 + 3 + 6 + 7 = 17

Questão 2 – (Insper-SP modificada) Determine o valor da expressão:

Resolução

Com a intenção de facilitar a notação, vamos nomear a = 2.009 e b = 2. Lembre-se de que 2² = 4, assim temos que:

Veja que, no numerador da fração, temos a diferença entre dois quadrados, logo, podemos escrever a² – b² = (a + b) (a – b). Logo:

a – b = 2009 – 2 = 2007.

 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática